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Diophantingleichungen V


Die Geburt der algebraischen Zahlentheorie

Seit dem 17. Jahrhundert haben große Mathematiker versucht, die wunderbare Demonstration zu rekonstruieren, die Fermat zu besitzen behauptete hat keine Lösung für positive ganze Zahlen, wenn nein > 2. Aber eine solche Demonstration passte nicht an den Rand seines Werkes von Bachet: "Arithmetica de Diophantus", ein Werk, das aus dem besteht, was von Diophantus 'Werk übrig geblieben war. Es wird berichtet, dass Euler, der größte Mathematiker des 18. Jahrhunderts, seinen Freund Clerot 1742 aufforderte, in Fermats Haus nach einem Stück Papier zu suchen, das Hinweise auf Fermats Satzdemonstration enthielt, aber nichts gefunden wurde. Für den Fall des Exponenten gab Euler jedoch den ersten korrekten, aber unvollständigen Nachweis nein = 3. Für den Fall, dass nein = 4 Die Demonstration wird Fermat zugeschrieben und basiert, wie bereits erwähnt, auf einer von Fermat erfundenen Induktionsform, der "Methode der unendlichen Abstammung". 1825 demonstrierten Legendre und Dirichlet den Fall unabhängig voneinander. nein = 5 mit der "Infinite Descent Method" und im Jahr 1838 demonstrierte Gabriel Lamé den Fall nein = 7, auch unter Verwendung der "Infinite Descent Method".

Im 19. Jahrhundert nahm die französische Mathematik Sophie Germain die Identität eines Mannes an, um seine mathematischen Forschungen durchzuführen. Sie machte einen der größten Fortschritte des Jahrhunderts bei der Lösung von Fermats Last Theorem (UTF) und fand ein allgemeines Ergebnis, anstatt eine bestimmte positive ganze Zahl zu demonstrieren. nein größer als 2. Sie hat gezeigt, dass wenn p und 2p + 1 sind zum Beispiel beide Primzahlen p = 3 und 2p + 1 = 2,3 + 1 = 7, also es gibt keine ganze Lösung x, y, z mit aber unter der Annahme, dass p teile dich nicht xyz. Als besonderen Fall hat sie gezeigt, dass wenn, so ist eine der ganzen Zahlen x, y und z durch 5 teilbar.

In der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts trotzen Mathematiker anderen Richtungen, um die UTF zu demonstrieren. Den größten Erfolg erzielte Ernest Kummer. 1843 legte Kummer Dirichlet eine Demonstration vor, die auf einer Erweiterung von ganzen Zahlen beruhte und algebraische Zahlen einschloss, dh Zahlen, die Polynomgleichungen mit rationalen Koeffizienten erfüllen. Dirichlet hatte sich jedoch sehr bemüht, einen Beweis für den Satz zu erbringen, und dabei einen Fehler in der Argumentation entdeckt: Kummer hatte angenommen, dass algebraische Ganzzahlen eine einfache Zerlegung in Primzahlen wie in Ganzzahlen zulassen, was jedoch im Allgemeinen nicht zutrifft. Kummer ließ sich nicht enttäuschen und kehrte mit doppelter Anstrengung zu seinen Ermittlungen zurück. Um eine einfache Faktorisierung zu gewährleisten, erfand er in der Menge der algebraischen ganzen Zahlen das Konzept von Ideale Zahlen. Durch die Integration dieser neuen Entitäten in algebraische Zahlen demonstrierte Kummer die Aussage für eine große Klasse von Primzahlen mit dem Namen regelmäßige Cousins. Obwohl es unendlich viele Cousins ​​gibt, die nicht regelmäßig sind, hat Kummer gezeigt, dass der Satz für viele Werte von gilt nein. Insbesondere zeigte sich, dass der Satz für alle Primzahlen unter 100 gilt, mit Ausnahme von 37, 59 und 67, da es sich um unregelmäßige Cousins ​​handelt. Andererseits, wann immer der Satz für einen gegebenen Exponenten gezeigt wird neinwird für alle multiplen Exponenten von demonstriert nein und dann reicht es aus, es den Hauptexponenten zu demonstrieren. Damit hat Kummer den Satz für alle Vielfachen dieser Exponenten demonstriert. Aus der Grundidee der idealen Zahlen entstand die algebraische Zahlentheorie, eine der Säulen der Zahlentheorie und einer der wichtigsten Zweige der abstrakten Algebra, die als Ringtheorie bekannt ist.

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