Kommentare

Quadratisches Reziprozitätsgesetz und Gauß-Ganzzahlen


Der deutsche Mathematiker Carl F. Gauss veröffentlichte 1825 eine Arbeit, in der komplexe Zahlen der Form vorgestellt wurden m + neinichwo m und nein sind ganze Zahlen und ich = (-1)1/2bei der Untersuchung von Fragen im Zusammenhang mit der Reziprozität des Vierecks. Die Gesetze der Reziprozität sind eines der interessantesten Ergebnisse der Zahlentheorie. Diese Gesetze wurden aus dem quadratischen Reziprozitätssatz geboren, der von Gauß demonstriert und zuvor von Pierre de Fermat, Leonard Euler und Joseph Legendre vermutet wurde. David Hilbert und später André Weil haben diese Gesetze verallgemeinert und sind in allgemeineren Situationen noch nicht vollständig verstanden.

Wahrscheinlich war das Quadratische Reziprozitätsgesetz (Quadratic Reciprocity Law, LRQ) eines der ersten fundierten Ergebnisse der modernen Zahlentheorie. Ursprünglich wurde es von Euler und Legendre in der ersten Hälfte des 18. Jahrhunderts unabhängig vermutet. Sie erhielten die Demonstration jedoch nur für bestimmte Fälle. 1795 entdeckte Gauß es für sich, glaubte aber nicht, dass er es demonstrieren könne, und berichtete in einem Brief, dass die Demonstration ihn ein Jahr lang quälte und seine besten Anstrengungen aufwandte. Im Alter von neunzehn Jahren, am 8. April 1796, führte Gauß zum ersten Mal das Gesetz der quadratischen Gegenseitigkeit vor und fand zu Lebzeiten weitere Beweise für dieses Ergebnis.

Bevor wir auf dieses Ergebnis eingehen, erinnern wir uns an den Kongruenzbegriff, der in den letzten Spalten zur Riemannschen Zetafunktion und zum Internet zu finden ist. Gauß führte den Begriff der Kongruenz in das erste Kapitel seines 1801 veröffentlichten Werks „Disquisitiones Arithmeticae“ ein. Zu dieser Zeit führte er auch die Notation „≡“ ein, die dieses Konzept zu einer mächtigen Technik in der Algebra und der Zahlentheorie machte. Gehen wir zu den Definitionen.

Wir betrachten zwei ganze Zahlen die, b und nein eine positive ganze Zahl. Wenn nein teilen die - b wir sagen das

die é kongruent die b Modul neinund wir schrieben dieb (mod nein).

Zum Beispiel: 27 ≡ 2 (mod 5), weil 5 27 - 2 = 25 teilt, 7 ≡ 7 (mod 4), weil 4 7 - 7 = 0 teilt.

Deshalb dieb (mod nein) bedeutet das nein teilen die - b; Bald gibt es eine ganze Zahl k so dass die - b = kn nach der Definition der Teilbarkeit. Zum Beispiel 37 ≡ 2 (mod 5), weil 37 - 2 = 35 = 7 • 5. Gegeben die ganzen Zahlen die und nein Aus dem Divisionsalgorithmus wissen wir, dass es ganze Zahlen gibt was und r jeweils als Quotient und Rest bezeichnet, so dass: die = wann + rwo 0 ≤ r < nein; demnächst die - r = wanndh nein teilen die - r. Daher nach der Definition der Kongruenz dier (mod nein). Der rest r kann einen beliebigen Wert zwischen 0 und annehmen nein - 1, also schließen wir, dass jede ganze Zahl die ist ein kongruentes Modul nein auf genau einen der Werte zwischen 0, 1, 2,…, nein - 1. Die Menge {0, 1, 2,…, nein -1} von nein ganze Zahlen, die die Überreste von Modulabteilungen sind neinwird die Modul-Abfallklasse genannt nein. Wenn wir es reparieren nein = 7, dann hat die Modulklasse 7 genau 7 Elemente, nämlich: 0, 1, 2,…, 6. Unabhängig von der Ganzzahl ist sie also mit einem einzelnen Element der Modulklasse 7 kongruent. Zum Beispiel wird 20 durch 6 in der Abfallklasse als 20 ≡ 6 (mod 7) dargestellt.

Aufgrund der vielen ähnlichen Eigenschaften, die Kongruenzen und Gleichheit erfüllen, wählte Gauß das Symbol „≡“ für das Kongruenzzeichen. Beachten Sie das diedie (mod nein) und wenn dieb (mod nein) dann bdie (mod nein). Die Additions-, Multiplikations- und Potenzierungsoperationen verhalten sich wie folgt: if dieb (mod nein) und cd (mod nein), dann: a + c b + d (mod nein), die c b d (mod nein), dierbr (mod nein).

Euler fragte sich, unter welchen Bedingungen die Kongruenz bestand x2was (mod p) zugelassene Lösung für Cousins p und was Daten. Wenn diese Kongruenz eine Lösung hat, sagen wir das was es ist ein quadratischer Rest Modul p. Ansonsten sagen wir das was es ist ein nicht quadratischer Rest Modul p. Daher ist die quadratischer Abfall Modul p sind diese Elemente der Modulrestklassenmenge p welche quadratisch sind. Wenn wir es reparieren nein = 7 dann hat das Abfallklassenmodul 7 genau 7 Elemente, nämlich: 0, 1, 2,…, 6 und genau 3 Elemente, die quadratisch sind, nämlich: 1 = 12, 4 = 22, 2 = 32das heißt 32 = 9 ≤ 2 (mod 7). Daher ist die ganze Zahl 2 der quadratische Restmodul 7. 5 ist jedoch der nicht quadratische Restmodul 7, da keines der Elemente der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} die Gleichung erfüllt. x2 ≡ 5 (mod 7).

Das Interesse der quadratischen Residuentheorie liegt in der folgenden Frage: Für ungerade Primzahlen p und wasgibt es eine Beziehung zwischen dem Eigentum an p Modul quadratischer Rest sein was mit dem Eigentum von was Modul quadratischer Rest sein p? Daher diskutieren wir die Art der Reziprozität von quadratischen Resten.

1640 formulierte Fermat den folgenden Satz, der heute als Fermats kleiner Satz bekannt ist:

„Wenn p ist ein seltsamer Cousin, der keine ganze Zahl teilt diedann diep - 1 ≡ 1 (mod p).”

Wie p seltsam ist, folgt, dass (p - 1) / 2 ist eine ganze Zahl, also müssen wir: die(p - 1)/2 ≡ 1 (mod p).

Das Euler-Kriterium war der Ausgangspunkt für die Untersuchung einer LRQ-Demonstration. Geben wir das Euler-Kriterium an:

Sei p eine ungerade Primzahl und eine ganze Zahl, so dass p die Zahl nicht teilt.

Die Zahl a ist genau dann quadratisches Restmodul p, die(p - 1)/2 ≡ 1 (mod p).”

Zum Beispiel die = 3 ist ein nicht quadratischer Restmodul p = 7, weil 33 = 27 ≤ –1 (mod 7).

Auf der anderen Seite die = 3 ist ein quadratischer Modulrest p = 11, weil 35 = 243 ≤ 1 (mod 11).

Dieses Kriterium ist jedoch nicht praktikabel. Wenn wir beispielsweise entscheiden möchten, ob Ganzzahl 17 ein quadratisches Residuenmodul 1987 ist, müssen wir entscheiden, ob 17 ist993 ist kongruent zu 1 Modul 1987 (beachte, dass (1987-1) / 2 = 993). Daher muss untersucht werden, ob es eine bequemere Methode gibt.

Euler konzentrierte sich auf die Situation, in der beide ganzen Zahlen p und was Sie sind positive, ungerade und verschiedene Primzahlen. Legendre versuchte 1785, eine Demonstration dieser Tatsache zu geben, nahm jedoch ein Ergebnis an, dessen Demonstration viel tiefer ist als die LRQ-Demonstration, das heißt, dass bestimmte arithmetische Progressionen unendliche Primzahlen in ihren Elementen enthielten.

Legendre führte jedoch das folgende Symbol ein (die/p): (die/p) = 1 wenn was ist ein quadratischer Rest von p, und (die/p) = -1, sonst. Dieses Symbol (die/p) erfüllt viele interessante Eigenschaften. Zum Beispiel, wenn p ist eine merkwürdige Cousine und die, b sind ganze Zahlen, die nicht durch Cousin teilbar sind pdann: das Symbol ist multiplikativ, dh ((ab)/p) = (die/p) (b/p); wenn dieb (mod p), dann (die/p) = (b/p).

Mit diesem Symbol (die/p), bekannt als das Legendre-Symbol, wird der LRQ zweckmäßigerweise wie folgt ausgedrückt:

(was/p) (p/was) = (-1)(p - 1) / 2. (was - 1) / 2.

LRQ kann auf andere Weise formuliert werden. Multiplizieren Sie die obige Gleichheit mit (p/was) Wir bekommen Gleichheit

(was/p) = (-1)(p - 1) / 2.(was - 1) / 2(p/was),

weil (p/was) = ± 1. Lassen Sie uns anhand des LRQ entscheiden, ob die Ganzzahl 30 ein quadratisches Restmodul 53 ist. Wir stellen zunächst fest, dass:

(15/53) = (3/53)(5/53).

(3/53) = (-1) (3 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/3) = (53/3) = (2/3),

für den Rest der Division von 53 durch 3 ist 2, das heißt 53 ≡ 2 (mod 3). Da 2 ein nichtquadratischer Modul 3 ist, folgt (2/3) = -1. Nach dem LRQ ist (5/53) = (-1) (5 - 1)/2. (53 - 1)/2 (53/5) = (53/5) = (3/5), weil der Rest der Division von 53 durch 5 3 ist, dh 53 ≡ 3 (mod 5). Da 3 der nichtquadratische Restmodul 5 ist, folgt daraus (3/5) = -1. Daher impliziert (15/53) = (3/53) (5/53) = (-1). (-1) = 1, dass 15 ein quadratischer Restmodul 53 ist.

Gauß wird von vielen als einer der drei größten Mathematiker der Geschichte angesehen, neben Archimedes und Newton. Mit siebzehn Jahren beschloss er, die von seinen Vorgängern in der Arithmetik entwickelten Forschungen zu korrigieren und zu vervollständigen. Gauß hatte großes Interesse an arithmetischen Fragen, und sein Satz ist bekannt:

„Mathematik ist die Königin der Wissenschaft und Arithmetik ist die Königin der Mathematik.

Gauß 'Arbeit ist eine Quelle der Inspiration für seine Kreativität und ein tiefer und moderner Blick auf mathematische Fragen. In seinem Buch "Disquisitiones Arithmeticae" untersucht er Gleichungen dieser Art xnein º die (mod p). Dies ist ein schwieriges Problem, das noch untersucht werden muss. Indem wir jedoch die Situation untersuchen, in der nein = 2, entdeckte und demonstrierte den LRQ.

In der Zeit zwischen 1808 und 1832 untersuchte Gauß weiterhin ähnliche Gesetze für Potenzen, die höher sind als Quadrate, dh die Beziehungen zwischen p und was so dass was waren ein kubischer Rest von p, (x3 º was (mod p)) oder bikadratische Rückstände (x4 º was(mod p)) und so weiter. Während dieser Untersuchung machte Gauß einige Entdeckungen und stellte fest, dass die Untersuchung durch die Arbeit an komplexen Zahlen einfacher wurde. m + neinich wo m und nein sind ganze Zahlen und ich = (-1)1/2.

Gauß entwickelte eine Primfaktorisierungstheorie für diese komplexen Zahlen Zich derzeit bekannt als Gaußsche Ganzzahlen oder Gaußsche Ganzzahlen zu Ehren von ihm.

Gauß zeigte, dass die Menge der Gaußschen Ganzzahlen, die mit den Additions- und Multiplikationsoperationen versehen sind, zu einer Struktur führt, die Integritätsdomäne genannt wird. Darüber hinaus lassen Gaußsche Ganzzahlen eine Primzerlegung zu. Diese Zerlegung ist eindeutig, es sei denn, die Reihenfolge der Faktoren stimmt mit der der ganzen Zahl überein.

Gauß verallgemeinerte die Idee der Ganzzahl, wenn er die Menge Z definierteich. Er fand heraus, dass ein Großteil von Euklids alter Theorie der Faktorisierung ganzer Zahlen in die Z-Domäne übertragen werden konnte.ich mit wichtigen Konsequenzen für die Zahlentheorie. Teilbarkeitsprobleme werden in diesem Bereich jedoch komplex. Beachten Sie, dass 5 in Z eine Primzahl ist, in Z jedoch keine Primzahl mehrich. In der Tat,

(1 + 2ich).(1 - 2ich) = 1 - 2ich + 2ich - 4ich2 = 1 - 4.(-1) = 5.

Es stellt sich natürlich die Frage: Was sind die Primzahlen der Z-Gesundheitsdomäne?ich?

Diese und andere Fragen zur Gaußschen Ganzzahlarithmetik werden in unserer nächsten Spalte kommentiert.

Zurück zu den Spalten

<