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Gaußsche Ganzzahlarithmetik


Die Arbeit des deutschen Mathematikers Carl F. Gauss ist universell. Gauß produziert mit Leichtigkeit in allen Bereichen der Mathematik. Er leistete sogar wichtige Beiträge in der Astronomie und entwickelte aus wenigen Beobachtungen eine Methode zur Berechnung der Umlaufbahnen von Himmelskörpern. Bis heute wird diese Methode verwendet, um Satellitenbahnen zu verfolgen. Das Vergnügen, das ich für die Forschung in der Arithmetik empfand, ist jedoch berüchtigt. Mit seinem monumentalen Werk „Disquisitiones Arithmeticae“ legte er den Grundstein für die moderne Zahlentheorie.

Im Jahr 1825 veröffentlichte er eine Veröffentlichung, in der komplexe Zahlen wie folgt vorgestellt wurden. die + bichwo die und b sind ganze Zahlen und ich = (-1)1/2. Dieser Satz ist mit Z bezeichnetich und heißt Gaußsche Ganzzahlen oder eine Menge von Gaußschen Ganzzahlen zu Ehren ihres Schöpfers.

Gauß untersuchte Fragen im Zusammenhang mit der bikadratischen Reziprozität, dh den Beziehungen zwischen Primzahlen p und was, so dass der Cousin was waren ein Cousin Rest Cousin p, x4 = was(mod p)als er feststellte, dass die Forschung einfacher wurde, indem er an Z arbeiteteich. Daher erweiterte Gauß die Idee der Ganzzahl bei der Definition von Z.ichweil er entdeckte, dass ein Großteil von Euklids alter Theorie der Ganzzahlfaktorisierung auf diese Menge übertragen werden konnte, mit wichtigen Konsequenzen für die Zahlentheorie.

Diese Verallgemeinerung der ganzen Zahlenmenge gibt spezielle Beispiele für viel tiefere Entwicklungen, die wir algebraische Zahlentheorie nennen. Diese Theorie ist tief und kraftvoll. Zusätzlich zu seinem Interesse und seiner Faszination für seine eigenen Eigenschaften bietet es viele Anwendungen für die Zahlentheorie, die ein Verständnis für verschiedene bisher unbekannte und mysteriöse Phänomene ermöglichen. Zum Beispiel betrachten wir viel allgemeinere algebraische Irrationalitäten, dh Wurzeln algebraischer Gleichungen aller Grade, die jenseits quadratischer Irrationalitäten liegen.

Lassen Sie uns einige der arithmetischen Eigenschaften von Gaußschen Ganzzahlen diskutieren. Zunächst beobachten wir, dass Zich ist eine Teilmenge von C, der Menge komplexer Zahlen. Betrachten Sie deshalb die Menge Zich mit den von C geerbten Additions- und Multiplikationsoperationen z1 = die + ichb und z 2 = die + ichb so

z 1 + z 2 = (die + c) + ich(b + d)

und

z 1 . z 2 = (die + c) + ich(b + d).

Das neutrale Element der Addition ist 0 = 0 + 0ichist das neutrale Element der Multiplikation 1 = 1 + 0ich und schließlich -1 = -1 + 0ich. Alle anderen Eigenschaften wie assoziative Addition und Multiplikation, kommutative Addition und Multiplikation, verteilend, werden von C geerbt. Beachten Sie, dass für jede ganze Zahl nein Wir haben den Ausweis nein = nein + 0ichoder doch nein = nein. Deshalb 0 = 0, ±1 = ±1, ±2 = ±2,…

Teilbarkeitsprobleme werden in dieser Menge komplex. Beachten Sie, dass die ganze Zahl 5 in Z eine Primzahl ist. In Z ist sie jedoch eine Primzahlich wir haben

(1 + 2ich).(1 - 2ich) = 1 - 2<>

ich + 2ich - 4ich2 = 1 - 4(-1) = 5.

Da nicht jede Integer-Primzahl eine Gauß-Primzahl ist, stellen sich natürlich einige Fragen: Was sind die Primzahlen dieses Rings? Gibt es unendlich viele Gaußsche Cousins? Ist es möglich, Gaußsche Ganzzahlen auf eine einzige Art und Weise in Primfaktoren zu zerlegen, außer in der Reihenfolge?

Um zu diesen Fragen Stellung zu nehmen, die den Begriff der Teilbarkeit in Z beinhaltenichmüssen wir definieren, was Teilbarkeit in Z istich.

Angenommen, das x und y sind verschiedene Gaußsche Ganzzahlen, wobei y ¹ 0. Das sagen wir y teilen xund wir zeigen durch y çxwenn es eine Gaußsche Ganzzahl gibt w so dass x = wy. Zum Beispiel

(1 + ich) ç2, weil 2 = (1 + ich)(1 - ich)

und

(1 + ich) ç(1 - ich) weil 1 + ich = ich(1 - ich).

Beachten Sie nun, dass 1 + 2ich teile nicht 1 - ich. Sonst hätten wir 1 + 2ich = (c + dich)(1 - ich) wo c und d gehören zu Z. Wir bekommen 1 + 2ich = c + d + (d - c)ichdh c + d = 1 und d - c = 2 entspricht dem Realteil bzw. dem Imaginärteil. Addiert man die beiden vorhergehenden Gleichungen, so erhält man 2d = 3. Allerdings d Es ist eine ganze Zahl!

Wird die Definition der Teilbarkeit in Z seinich kompatibel mit der Definition der Teilbarkeit in Z? Wir wollen zum Beispiel wissen, ob es möglich ist, 7 in Z zu unterteilenich. Die Antwort könnte nicht aussagekräftiger sein:

Es gibt eine Vereinbarkeit zwischen der Definition der Teilbarkeit

angegeben für Gaußsche Ganzzahlen relativ zu der für die Ganzzahlen angegebenen Definition.

Nehmen wir an, dass x und y, y ¹ & sup0; sind Elemente von Z, so daß y çx in zich. So ist es auch w = c + dich in zich so dass x = wydh x = (c + dich)y = cy + dyich. Bald x = cy und 0 = dy. Wie y ¹ 0, 0 = dy impliziert das d = 0 und damit w = c Es ist eine ganze Zahl! Deshalb x = wy = cy. Wir schließen daraus, dass wenn y çx in zichdann y çx in Z.

Wir wissen, dass 1 und -1 alle ganzen Zahlen teilen. In ähnlicher Weise ist gezeigt, dass ± 1 und ± ich Dividieren Sie alle Gaußschen Ganzzahlen. Daher ± 1 und ± ich werden Einheiten von Gaußschen ganzen Zahlen genannt. Wenn w ist eine Einheit der Gaußschen Ganzzahlen und x und y sind Gaußsche Ganzzahlen, so dass x = wy, dann sagen wir das x und y sind zugehörige Elemente. Beachten Sie, dass 1 + ich und 1 - ich sind assoziierte Elemente, weil 1 + ich = ich (1 - ich).

Wir können nun Gaußsche Cousins ​​definieren: eine Gaußsche Ganzzahl x ist eine Gaußsche Cousine, wenn die einzigen Teiler von x sind ihre Mitarbeiter und die Einheiten von Zich. Zum Beispiel die ganze Zahl 2 kein cousin in zichweil

<>

ich(1 - <>

ich)2 = ich(1 - 2ich + ich2) = ich(-2ich) = -2ich2 = <>

2.

Wie bereits erwähnt, gibt es viele Eigenschaften, die Gaußsche Ganzzahlen und Ganzzahlen gemeinsam haben. Aus früheren Spalten wissen wir, dass es unendlich viele Primzahlen der Form 4 gibtk + 3. Es wird wiederum gezeigt, dass jede Primzahl der Form 4k + 3 ist eine Gaußsche Cousine! Es gibt also unendlich viele Gaußsche Cousins. Von Gaußschen Cousins ​​wird gezeigt, dass sie genau:

Der ganze Gaußsche 1+ ich und ihre Mitarbeiter; die Primzahlen der Form 4k + 3 und seine Mitglieder; und die zahlen an ± bichwo die2 + b2 ist eine Primzahl der Form 4k +1,

und seine Mitarbeiter.

Wir beobachten, dass die Mitarbeiter einer Gaußschen Ganzzahl x werden durch Multiplikation erhalten x um ± 1 oder ± ich.

Wenn p = 3 so p = 3 = 4,0 + 3; bald die ganze Gaußsche 3 Er ist ein Gaußscher Cousin. Wenn p = 5dann p = 5 = 4.1 + 1 impliziert, dass 2 + ich und 2 - ich und ihre Mitarbeiter sind Gaußsche Cousins.

Wie jede Primzahl oder hat sie die Form 4k + 1 oder Formular 4k + 3, wir schließen daraus, dass es zwei Gaußsche Cousins ​​gibt, die jeder Primzahl von Form 4 entsprechenk + 1 und eine Gaußsche Primzahl, die jeder Primzahl der Form 4 entsprichtk + 3. Somit ist jede Gaußsche Primzahl ein Faktor einer einzelnen Primzahl. Wir sagen oft, dass die Cousins ​​der Form 4k + 3 bleiben Prime bei Zichdass die Cousins ​​der Form 4k + 1 zerlegen in Zichund das 2 = -ich(1 + ich) verzweigt sich in Zich.

Wir haben festgestellt, dass wir bis jetzt keine Elemente haben, um Gaußsche Ganzzahlen mit der bekannten Ordnungsrelation „<“ zu vergleichen. Nehmen wir an, dass diese Definition auf Gaußsche Ganzzahlen ausgedehnt werden kann. Wir wissen, dass wir unabhängig von der erweiterten Definition immer eine haben werden 0 < 1. Wie ich ¹ 0, wenn wir annehmen ich < 0also unbedingt 0 < -ich und deshalb 0 < (-ich)2 = -1, was falsch ist! Andererseits, wenn wir annehmen 0 < ichdann 0 < ich2 = -1, was auch falsch ist!

Um Gaußsche Ganzzahlen zu vergleichen, können wir eine Regelfunktion mit einer Domäne definieren, die Werte in den N-Naturwerten annimmt N einer Gaußschen ganzen Zahl x = die + bichvon N(x) = N(die + bich) = die2 + b2. Die Norm spielt eine wichtige Rolle, da Ungleichungen bekanntermaßen für die Untersuchung der arithmetischen und algebraischen Eigenschaften von ganzen Zahlen von grundlegender Bedeutung sind.

In Zich Eine Division mit Rest ist der in ganzen Zahlen definierten euklidischen Division sehr ähnlich:

Sei x und y Gaußsche Ganzzahlen, mit y ¹ 0. Es gibt also Gaußsche Ganzzahlen w und z

so dass: x = wy + zmit N(z) <N(w).

Also die Aufteilung mit Rest in Z.ich Es ist algorithmisch. Diese Tatsache erlaubt es uns, den größten gemeinsamen Teiler von zwei nicht-null Gaußschen Ganzzahlen zu berechnen.

Ganzzahlen erfüllen eine sehr wichtige Eigenschaft in der Zahlentheorie: Die Einzelfaktorisierung, dh jede positive Ganzzahl, wird auf eine eindeutige Weise ausgedrückt, außer in der Reihenfolge der Faktoren, als Produkt von Primzahlen. Gaußsche Ganzzahlen erfüllen auch diese wichtige arithmetische Eigenschaft, dh sie ermöglichen eine Primzerlegung, und diese Zerlegung ist weniger eindeutig als die Reihenfolge der Faktoren.

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