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Die Verteilung von Primzahlen und Eratosthenes Sieb


Wir wissen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt und dass sich jede ganze Zahl ungleich Null als Produkt von Primzahlen ausdrückt. Die Zahl 12 drückt sich als 2 aus2.3, das Produkt der Cousins ​​2, 2 und 3. Wie können wir feststellen, ob eine Zahl eine Primzahl ist? Gibt es einen Algorithmus, dh einen Prozess mit einer endlichen Anzahl von Schritten, um zu entscheiden, ob eine Zahl eine Primzahl oder eine Verbindung wie 12 ist?

Diese Frage beschäftigten bereits die griechischen Mathematiker der Antike und die Antwort ist positiv. Wenn wir wissen wollen, ob die positive ganze Zahl nein > 1 ist Primzahl, stellen Sie sicher nein ist durch ganze Zahlen teilbar m kleiner als nein. Diese Idee kann jedoch verfeinert werden, da gezeigt wird, dass es ausreicht, die Teilbarkeit von zu überprüfen nein Cousins ​​kleiner oder gleich Ön. Das heißt, wir bekräftigen, dass wenn nein Es ist keine Primzahl, also gibt es eine Primzahl p so dass p teilen nein und p <= Ön. In der Tat, wie wir das annehmen nein es ist keine Primzahl, nein ist dann eine zusammengesetzte Zahl und kann daher als zerlegt werden nein = ab. Wenn die > Önein und b > Öneindann nein = ab > (Önein) (Önein) = neinein Widerspruch. Also haben wir die <= Önein und b <= Öneinund jeder Cousin p das teilt die befriedigen p <= die <= Önein. Also die Primzahlen xso dass x <= Önein, sind die einzigen, die wir testen müssen, um die Teiler von zu finden nein. Das heißt, einfach teilen nein um 2, 3, 5, ..., bis wir die größte ganze Zahl kleiner als Ö findennein.

Zum Beispiel möchten wir wissen, ob die Zahl 107 eine Primzahl ist. Die Quadratwurzel von 107 liegt zwischen 10 und 11, also 10 <Ö107 <11. Wir testen also, ob 107 durch 2, 3, 5, 7 teilbar ist. Wir schließen daraus, dass die Zahl 107 eine Primzahl ist. Auf der anderen Seite können wir mit demselben Verfahren die Primfaktoren einer zusammengesetzten Zahl bestimmen. Als ein anderes Beispiel, wenn nein = 319, daher liegt die Quadratwurzel von Ö319 zwischen 17 und 18, und wir testen daher die Teilbarkeit durch Cousins ​​kleiner oder gleich 17. Wir finden, dass 319 = 11,29, dh 319 ist das Produkt von 11 durch 29. In 29 zerlegen Primfaktoren, wir haben ihre Teilbarkeit durch Primzahlen kleiner oder gleich 5 getestet, da die Quadratwurzel von 29 zwischen 5 und 6 liegt. Da 29 nicht durch 2, 3 und 5 teilbar ist, schließen wir, dass 29 Primzahl und damit 319 = ist 11.29 ist die Zerlegung von 319 in Primfaktoren.

Beachten Sie, dass dieser Algorithmus auf Division basiert, und obwohl der Algorithmus funktioniert, müssen wir, wenn wir hohe Zahlen berücksichtigen, eine große Anzahl von Divisionen durchführen, was zeitaufwendig wäre. Der Mathematiker Eratosthenes von Cyrene, ein Zeitgenosse von Archimedes und Aristarchos, Autor der berühmtesten Antike für den Radius der Erde, entwickelte eine systematische Methode, um Cousins ​​kleiner als eine gegebene Zahl zu erhalten, wobei er Multiplikationen anstelle von Divisionen verwendete. Dies erleichtert die Implementierung des Algorithmus. Dieser Algorithmus ist als Eratosthenes-Sieb oder Siebmethode bekannt. Eratosthenes wurde 276 v. Chr. Geboren, starb 196 v. Chr., Studierte Philosophie in Athen und war Direktor der berühmten Bibliothek von Alexandria sowie ein bedeutender Mathematiker, Geograf, Historiker, Philologe und Dichter. Das Eratosthenes-Sieb bestimmt alle Primzahlen, die kleiner als eine bestimmte Zahl sind x gegeben. Daher bestimmt es die Primfaktoren der zusammengesetzten Zahlen kleiner als x.

Beachten Sie, dass jede zusammengesetzte Nummer nein hat einen Divisor kleiner oder gleich seiner Quadratwurzel Önein. Dies schlägt eine Prozedur zum Erstellen einer Liste aller Primzahlen vor, die eine ganze Zahl nicht überschreiten. xwenn Cousins ​​kleiner als Öx sind bereits bekannt. Betrachten Sie die ganzen Zahlen von 2 bis x, aufsteigend sortiert. Lassen Sie uns die Cousins ​​von 2, 3, 5, ... bis Öx, und verwerfen Sie alle ihre Vielfachen.

Wie entfernen wir im Allgemeinen Vielfache von einem Cousin? pr In dieser Liste ist die erste verbleibende Ganzzahl größer als prist auch eine Primzahl, sagen wir pr +1. In der Tat, sonst wäre es durch einen kleineren Cousin (tatsächlich kleiner als seine Quadratwurzel) teilbar und wäre bereits entfernt worden. Beachten Sie auch, dass wir uns nicht um ganze Zahlen kümmern müssen, die kleiner sind als (pr +1)2weil zusammengesetzte Zahlen kleiner als (pr +1)2 wurden bereits entfernt, weil sie alle einen Primfaktor von weniger als hatten pr +1. Daher ist es ausreichend, jeden Schritt durch Entfernen der Vielfachen von zu beginnen pr +1 und wegwerfen (pr + 1)2.

Bestimmen wir als Beispiel alle Primzahlen kleiner als 23 mit der Siebmethode. In der folgenden Liste bedeutet die Darstellung der Zahl in Fettdruck, dass sie in einem Schritt des Algorithmus gelöscht wurde. Zum Beispiel wird 6 verworfen, weil es ein Vielfaches von Primzahl 2 ist.

Wir haben: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22Daher sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 Primzahlen kleiner als 23.

Die Siebmethode ist effizient, um eine Liste von Cousins ​​zu erhalten, die kleiner als eine nicht zu große ganze Zahl ist, und seit der Zeit von Eratosthenes wurde die Methode verwendet, um die Anzahl von Cousins ​​in einem Bereich zu schätzen. Wenn wir jedoch versuchen, eine Liste der verworfenen Ganzzahlen zu erhalten, erhalten wir eine Formel für die genaue oder ungefähre Anzahl der Primzahlen p xWir werden ernsthafte Schwierigkeiten haben. Die Siebmethode wurde im Laufe der Zeit mehrfach verfeinert. Die Mathematiker Brun, Rademacher, Meissel und insbesondere Selberg haben die Siebmethode verallgemeinert und so viele klassische Probleme der Zahlentheorie erfolgreich neu untersucht.

Zwei Primzahlen werden als Zwillingsvetter bezeichnet, wenn der Unterschied zwischen ihnen 2 beträgt. Einige Beispiele für Zwillingsprimpaare sind: 3 und 5, 5 und 7, 11 und 13, 17 und 29, 29 und 31, 41 und 43. Gelehrte der Zahlentheorie-Vermutung, kann aber nicht beweisen, dass es unendlich viele Zwillings-Cousins ​​gibt. Der norwegische Mathematiker Brun entwickelte 1919 die Doppelsiebmethode und schätzte die Zahl der Zwillingscousins.

1950 gewann der norwegische Mathematiker A. Selberg die Fields-Medaille (die höchste Auszeichnung für einen Mathematiker) für die Entwicklung einer außerordentlich effizienten Methode zur Schätzung der Verteilung von Primzahlen. Diese Auszeichnung stellt einen Meilenstein dar, da es das erste Mal war, dass ein Mathematiker eine Fields-Medaille für eine Arbeit zur Zahlentheorie gewann. Selberg hat mit seiner Verfeinerung der Siebmethode wesentlich genauere Schätzungen erhalten und damit viele klassische Probleme der Zahlentheorie gelöst. Selberg demonstrierte elementar das asymptotische Gesetz der Primzahlenverteilung, das heißt den Primzahlsatz. Die Mathematiker Hadamard und de la Vallée-Poussin haben dieses Theorem 1897 erstmals anhand einer mathematischen Analyse, genauer gesagt der Theorie komplexer Funktionen, demonstriert. Der Primzahlsatz bewertet, wie oft Primzahlen vorkommen, mit anderen Worten, die Wachstumsrate von Primzahlen in der Folge positiver ganzer Zahlen. Dank Atle Selberg und Paul Erdös war es möglich, eine Demonstration des Primzahlsatzes zu erhalten, die vollständig auf Schätzungen beruhte, ohne die Verwendung der Komplexen Analyse. Selbergs Untersuchungen zur analytischen Zahlentheorie ermöglichten Fortschritte in einer Reihe heikler Probleme und ergaben ungewöhnliche Zusammenhänge zwischen der Zahlentheorie und anderen Bereichen der Mathematik. Zum Beispiel: Diskrete Gruppentheorie und automorphe Formen, semi-einfache Lie-Gruppendarstellungen, Riemanns Zeta-Funktionstheorie und viele andere.

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