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Die pythagoreischen Anzüge


Die Zahlentheorie ist der Bereich der Mathematik, der tiefe und subtile Beziehungen zwischen positiven ganzen Zahlen untersucht. Pythagoras und seine Anhänger verbanden diese Zahlen mit der Geometrie und begannen damit einen der erfolgreichsten Stränge der Zahlentheorie, nämlich das Binom: Arithmetik und Geometrie. Um 1700 v. Chr. Wurden in Babylon Tabellen gefunden, die Listen von Ganzzahlanzügen mit der Eigenschaft enthielten, dass eine der Zahlen der Summe der Quadrate der anderen beiden entspricht. Da solche Listen umfangreich waren, wird angenommen, dass die Babylonier bereits eine systematische Methode hatten, um solche Anzüge zu erstellen. Es gibt historische Aufzeichnungen, die die Existenz und Verwendung solcher Tabellen im alten Ägypten belegen: Betrachten Sie die Quadrate der natürlichen Zahlen 1², 2², 3², 4², 5², ... Wenn wir die Summe von zwei Quadraten nehmen, erhalten wir schließlich ein weiteres Quadrat. Das bekannteste Beispiel für diese Tatsache ist: 3² + 4² = 5², aber es gibt auch andere Beispiele: 5² + 12² = 13², 20² + 21² = 29² und viele andere. 2² + 3² = 13 ist jedoch kein Quadrat. Daher ist es natürlich zu fragen, ob es eine unendliche Anzahl von pythagoreischen Anzügen gibt. Die Antwort ist ja und der Grund ist sehr einfach: Wenn (x, y, z) ein pythagoräisches Zahlungsmittel ist, erhalten wir durch Multiplikation mit einer positiven ganzen Zahl c (cx, cy, cz), das ein neues pythagoräisches Zahlungsmittel ist, daher ist (cx) ² + (cy) ² = c² (x² + y²) = c²z² = (cz) ². Andererseits sind diese Anzüge nicht die interessantesten und so definieren wir primitive Anzüge, dh solche, bei denen a, b und c keinen gemeinsamen Faktor haben und die die Beziehung x² + y² = z² erfüllen.

Andererseits interessierten sich die Pythagoreer für die rechtwinkligen Dreiecke, deren Kragen eine ganzzahlige Länge x und y haben und die Länge z der Hypotenuse sich auf x und y bezieht, so dass z² = x² + y². Eine solche Beziehung ist der berühmte Satz des Pythagoras. Die Suche nach allen positiven ganzen Zahlen, die die Identität x² + y² = z² erfüllen, entspricht dem Problem, alle rechtwinkligen Dreiecke zu bestimmen, deren Seiten ganze Zahlen sind.

Die Pythagoräer waren um 600 v. Chr. Die ersten, die eine Methode zur Bestimmung von unendlich vielen solchen Anzügen gaben, die heute Pythagoräer-Anzüge genannt werden. Unter Verwendung der aktuellen Notation beschreiben wir die Methode wie folgt: sei x = n, y = 1 (n² & supmin; ¹), z = 1 (n² + 1), wobei n eine ungerade ganze Zahl größer als 1 ist; Die resultierende Sehne (x, y, z) ist also eine pythagoreische Terna mit z = y + 1. Beachten Sie einige Beispiele: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41². 11² + 60² = 61². Beachten Sie, dass es andere Anzüge als diese gibt: Zum Beispiel, wenn z = y + 2, dh 8² + 15² = 17², 12² + 35² = 37², 16² + 63² = 99², 20² + 65² = 101². Der Philosoph Platon (430 - 349 v. Chr.) Hat eine andere Methode zur Bestimmung all dieser Tendenzen gefunden, die in der modernen Notation die Formeln sind: x = 4n², y = 4n² - 1, z = 4n² + 1. Der griechische Mathematiker Tales of Miletus brachte eine wesentliche Änderung der Kenntnisse mit sich, als er die Mathematik, die als eine Form der Numerologie praktiziert worden war, in eine deduktive Wissenschaft verwandelte. Um 300 v. Chr., Als Euklid die Sammlung von 13 Büchern mit dem Namen Elements veröffentlichte, wurden alle vorgestellten mathematischen Fakten formal demonstriert. Im zehnten Buch gab Euklid eine Methode an, um alle pythagoreischen Anzüge zu erhalten. Obwohl Euklid keine formelle Demonstration seiner Methode vorlegte, erhielt er alle Anzüge. Unter Verwendung der aktuellen Notation besteht die Methode aus den folgenden Formeln: x = t (a²-b²), y = 2tab, z = t (a² + b²) wobei t, a und b beliebige positive ganze Zahlen sind, so dass a> b, a und b haben keine gemeinsamen Faktoren, und wenn a ungerade ist, ist b gerade und umgekehrt. Dies löst das natürliche Problem, zu wissen, welche es sind, vollständig alle die pythagoreischen Anzüge.

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