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Gaußsche Ganzzahlen und die Ursprünge der algebraischen Zahlentheorie II


Mathematik ist die Königin der Wissenschaft und Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.
C. F. Gauss

Die algebraische Zahlentheorie entstand in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts in den Werken der Mathematiker Ernest Kummer (1810-1893), Richard Dedekind (1831-1916) und Leopold Kronecker (1823-1891). Diese Theorie hatte ihren Ursprung, als der deutsche Mathematiker Carl F. Gauss (1777-1855) die Idee der Ganzzahl durch die Definition des Rings der Gaußschen algebraischen Ganzzahlen erweiterte, zichund später in einem Versuch, Fermats letzten Satz zu demonstrieren. Die algebraische Zahlentheorie ist eine der schönsten und tiefgründigsten Theorien in der gesamten Mathematik.

Die erste Motivation dieser Untersuchung betrifft die Verallgemeinerung des Satzes der einzelnen Repräsentation von Ganzzahlen als Produkt von Primzahlen, die kleiner sind als die Reihenfolge der Faktoren, auf algebraische Ganzzahlen. Gauß führte den Ring algebraischer Ganzzahlen ein, zich, während seiner Untersuchung von bikadratischen Resten, und zeigte, dass in diesem Ring Faktorisierung in Primelementen vorhanden ist und weniger als die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.

Die Faktorisierung einer Zahl hängt sehr stark von dem Ring ab, zu dem sie gehört. Um die Eindeutigkeit der ganzzahligen Faktorisierung zu verallgemeinern, ist es daher erforderlich, geeignete Unterringe des Körpers komplexer Zahlen zu bearbeiten.

Die zweite Motivation für das Studium der algebraischen Zahlenarithmetik ergibt sich aus der Theorie der diophantinischen Gleichungen. Beispielsweise ist eine quadratische Form, die über einem Ring A definiert ist, ein homogenes Polynom, so dass die Koeffizienten Elemente von A sind, dh Polynome der Form f(x, y) = Axe2 + Bxy + Cy2 wo A, B, C gehören zu Ring A. Wenn wir die quadratische Form über den Ring von ganzen Zahlen nehmen

f(x, y) = x2 - D y2

wo D ist eine ganze Zahl und ÖD ist keine ganze Zahl, sie kann in der Form geschrieben werden

f(x, y) = x2 - D y2 = (x - ÖD y). (x + ÖD y).

Daher die Frage nach der Möglichkeit der ganzzahligen Darstellung r von r = die2 - DB2 = f(die, b) wo die und b sind ganze Zahlen, wird umformuliert, um algebraische Zahlen des Rings ZÖ zu berücksichtigenDZahlen der Form die + bÖD.

Diese Motivationen verdeutlichen die Bedeutung von Z-RingenD und Z ich.

In den frühen 1840er Jahren betrachtete Kummer den Formring der Zahlen.

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diep-<>

1V<>

p-<>

1<>

+ diep-2 V<>

p-<>

2<>

+… + die1V<>

+ die0

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wo diep-1, diep-2,… , die1 und die0 sind ganze Zahlen, p ist eine ungerade Primzahl und V eine primitive Wurzel p-th der Einheit, das heißt eine komplexe Zahl V so dass Vp = 1 und V Como 1. Da dieser Ring in der Regel nicht die Eigenschaft einer einzelnen Faktorisierung in Primzahlen besitzt, hat Kummer dies durch Einführung des Begriffs „ideale Zahlen“ behoben, aus dem der Begriff „ideal“ aufgrund von Dedekind hervorging und gezeigt wurde das war die eindeutige Faktorisierung in ideale Primzahlen wert. Mit diesem Konzept demonstrierte er den damals vielfach neuen Satz von Fermat anhand der Identität von

xp - yp = (x - y) (x - Vy)… (x - Vp - 1y ) .

Diese Theorie nahm eine andere Form an als die, die Kummer uns hinterlassen hat. Kummers tiefgreifende Ergebnisse beziehen sich jedoch auf Zyklotomkörper, dh Körper der Form Q (w), bei denen w eine primitive Wurzel ist nein-th der Einheit, diente als Paradigma für spätere Forscher.

Es dauerte ungefähr 30 Jahre, bis Kronecker und Dedekind die richtige Verallgemeinerung der idealen Zahlen gefunden hatten. Es wurde angemerkt, dass es notwendig war, den Begriff der algebraischen Ganzzahl zu definieren.

Eine algebraische Ganzzahl ist eine bestimmte Art von komplexer Zahl, dh eine komplexe Zahl, die die Lösung einer Polynomgleichung ist.

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dieneinxnein<>

+ dienein-1 xnein-1+… + die1x + die0 = 0,

wo alle Koeffizienten dienein, dienein-1,… , die1, die0 sind ganze Zahlen. Zum Beispiel die imaginäre Einheit, ichist eine algebraische Ganzzahl, weil sie die Gleichung erfüllt x2 + 1 = 0. Die Quadratwurzel von 7, Ö7, ist eine algebraische Ganzzahl, da sie die Gleichung erfüllt x2 - 7 = 0. Beachten Sie, dass die Zahlen ich, Ö7 sind Beispiele für algebraische Ganzzahlen und keine Ganzzahlen.

Algebraische Integer-Ringe repräsentieren das zentrale Konzept der algebraischen Zahlentheorie. Um genau zu sein: eins Körper algebraischer Zahlen, K und sein Entsprechendes algebraischer Integer-Ring, DK. Ein Körper algebraischer Zahlen, K, ist ein Teilkörper des Körpers komplexer Zahlen, bei dem Q als Vektorraum über Rationalen eine endliche Dimension hat. Die in K enthaltenen algebraischen Ganzzahlen bilden einen Ring DKDies ist die geeignete Struktur für die Verallgemeinerung der Einzelfaktorisierung in Primzahlen.

Allgemein gesagt: Wenn w eine beliebige algebraische Zahl ist und wir den Körper K = Q (w) nehmen, dann betrachten wir den unterscheidbaren Teilring DK von K heißt der Ring der algebraischen ganzen Zahlen von K. Die Elemente von DK sind komplexe Zahlen in K = Q (w), die Lösungen von Polynomgleichungen sind

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dieneinxnein<>

+ dienein-1 xnein-1+… + die1x + die0 = 0,

wo alle Koeffizienten dienein, dienein-1,… , die1, die0 sind ganze Zahlen.

Beachten Sie, dass die Beziehung zwischen DK und K ist analog zu der Beziehung zwischen Z und Q. Jedoch neigt die Primfaktorisierung dazu, für ganzzahlige Ringelemente, aber nicht für Ideale, zu versagen.

Wir machen den Leser auf die Tatsache aufmerksam, dass, wenn wir den Körper K = Q (w) nehmen, wobei w eine beliebige algebraische Zahl ist, der Ring algebraischer Ganzzahlen nicht immer die Form D hatK = Z w. Andererseits ist Z w in D enthaltenK,weil DK ist ein Ring mit w. Zum Beispiel ist Q (Ö5) ein Körper aus algebraischen Zahlen. Tatsächlich ist die komplexe Zahl Ö5 die Wurzel des Polynoms. p(x) = x2 - 5, also eine algebraische Zahl, und Q (Ö5) ist ein Vektorraum endlicher Dimension gleich 2 über Q, wobei eine Basis die Menge {1, Ö5} ist. Z Ö5 ist jedoch nicht Ihr ganzzahliger Ring. Tatsächlich ist die komplexe Zahl (1 + Ö5) / 2 die Wurzel des Polynoms. p(x) = x2 - x - 1, also eine algebraische Ganzzahl, die zu Q (Ö5) gehört. Somit gehört die komplexe Zahl (1 + Ö5) / 2 zum Ring der algebraischen ganzen Zahlen DK, gehört aber nicht zu Z (Ö5), da die Zahl 1/2 keine ganze Zahl ist.

Der Mathematiker Dedekind formulierte Kummers Konzept der idealen Zahl neu und schlug das grundlegende Schlüsselkonzept des "Ideals" vor, das bis heute erhalten bleibt. Dedekinds Definition unterscheidet sich von Kummers Definition, aber es wird gezeigt, dass sie gleichwertig sind. In dieser Theorie sind die wesentlichen Bausteine ​​Hauptideale. Es wird gezeigt, dass in algebraischen Integer-Ringen jedes Nicht-Null-Ideal eine eindeutige Faktorisierung der Potenzen von Primidealen aufweist.

Die Theorie der algebraischen Integer-Ring-Ideale wurde entwickelt, um neue klassische Problemlösungsmethoden der Zahlentheorie bereitzustellen. Die Entwicklung von Methoden in der algebraischen Zahlentheorie bleibt ein wichtiges Forschungsgebiet in der Zahlentheorie.

Die Abstraktion der wichtigsten Eigenschaften algebraischer ganzzahliger Ringe führte zu Axiomen, die eine neue Klasse von Ringen namens Dedekind Domains definierten, wie der brillante deutsche Mathematiker Emmy Noether (1882-1935) demonstrierte. Die Domänenklasse von Dedekind ist viel größer als die ursprüngliche Klasse algebraischer ganzzahliger Ringe. Die Grundinvariante eines Dedekind-Rings ist seine Gruppe von idealen Klassen, Klassengruppe auf Englisch, und seine Kardinalität wird die Anzahl der idealen Klassen genannt, Klassennummer auf englisch. Dies ist normalerweise eine unendliche abelsche Gruppe. Es ist jedoch immer eine endliche Gruppe für algebraische Integer-Ringe.

Betrachtet man einen Körper algebraischer Zahlen K und seinen Ring algebraischer Ganzzahlen DKwird gezeigt, dass der algebraische Integer-Ring DKist eine Domain von Dedekind. D seinK ein Ring algebraischer Ganzzahlen Klassengruppe ist endlich und es wird gezeigt, dass die Klassennummer ist genau dann 1, wenn der ganzzahlige Ring DK, hat die Eigenschaft einer eindeutigen Faktorisierung.

Die Erforschung der arithmetischen Eigenschaften des Integer-Rings eines Körpers algebraischer Zahlen ist eines der Hauptforschungsziele der algebraischen Zahlentheorie. Es gibt drei Methoden zur Untersuchung der D-Arithmetik.K. Kronecker betrachtete Polynome mit D-KoeffizientenK. Dedekind führte den Begriff der Ideale ein DKindem Sie eines der wichtigsten Konzepte in der Algebra definieren. Hensel führte die Methode ein, die derzeit als Lokalisierung bezeichnet wird.

Ein Großteil der klassischen Zahlentheorie lässt sich im Kontext der algebraischen Zahlentheorie ausdrücken, und diese Theorie hat sich in der Zahlentheorie vom Werkzeug zum Gegenstand einer wesentlichen Untersuchung entwickelt. Diese Ansicht wurde von dem deutschen Mathematiker David Hilbert (1862-1943), der einen großen Einfluss auf die Entwicklung der Zahlentheorie hatte, stark betont. Infolgedessen ist die algebraische Zahlentheorie ein fruchtbarer, erfolgreicher und wichtiger Zweig der Mathematik mit fundierten Methoden und Anwendungen nicht nur in der Zahlentheorie selbst, sondern auch in der Gruppentheorie, der algebraischen Geometrie, der kommutativen Algebra und der Topologie. , Analyse und K-Theorie.

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