Im Detail

Gaußsche Ganzzahlen und die Ursprünge der algebraischen Zahlentheorie


Zwischen 1808 und 1825 untersuchte der deutsche Mathematiker Carl F. Gauss Fragen der kubischen Reziprozität (x3 º was(mod p) wo p und was Primzahlen) und zur wechselseitigen Reziprozität (x4 º was(mod p) wo p und was Primzahlen), als er feststellte, dass diese Untersuchung durch die Arbeit an Zich, der Ring von Gaußschen Ganzzahlen, als in Z, der Menge von Ganzzahlen. Die Menge Zich wird durch die komplexen Zahlen der Form gebildet die + bichwo die und b sind ganze Zahlen und ich = (-1)1/2.

Gauß hat die Idee der Ganzzahl bei der Definition der Menge Z erweitertichweil er entdeckte, dass ein Großteil von Euklids alter Theorie der ganzzahligen Faktorisierung auf Z übertragen werden konnteich mit wichtigen Konsequenzen für die Zahlentheorie. Er entwickelte eine Primfaktorisierungstheorie für diese komplexen Zahlen und demonstrierte, dass diese Primzerlegung wie bei der ganzen Menge von Zahlen einzigartig ist. Gauß 'Verwendung dieses neuen Zahlentyps war für die Darstellung von Fermats letztem Satz von grundlegender Bedeutung.

Gaußsche Ganzzahlen sind Beispiele für einen bestimmten Typ komplexer Zahlen, dh komplexer Zahlen, die Lösungen einer Polynomgleichung sind.

dieneinxnein + dien-1 xnein-1+… + die1x + die0 = 0,

wo alle Koeffizienten dienein, dien-1,… , die1, die0 sind ganze Zahlen. Diese komplexen Zahlen, die Wurzeln einer Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sind, werden algebraische Ganzzahlen genannt. Beispielsweise ist die imaginäre Einheit i eine algebraische Ganzzahl, da sie die Gleichung erfüllt x2 + 1 = 0, Quadratwurzel 21/2 von 2, weil es die Gleichung erfüllt x2 - 2 = 0. Beachten Sie, dass die Zahlen ich, 21/2 sind Beispiele für algebraische Ganzzahlen und keine Ganzzahlen.

Es gibt unendlich viele algebraische Zahlen und unendlich viele nicht-algebraische reelle Zahlen, wie zum Beispiel die Euler-Zahl. undoder als die Fläche peines Kreises mit Radius 1. Eine Zahl, die nicht algebraisch ist, wird als "transzendente Zahl" bezeichnet. Die transzendenten Zahlen sind alle irrational. Das Gegenteil ist jedoch nicht wahr, da 21/2 ist eine irrationale und algebraische Zahl, wie wir oben gesehen haben.

Die Verallgemeinerung des Begriffs der Ganzzahl in eine algebraische Ganzzahl gibt spezielle Beispiele für viel tiefere Entwicklungen, die wir algebraische Zahlentheorie nennen.

Ein Großteil der algebraischen Zahlentheorie entstand durch Versuche, die diophantische Gleichung, besser bekannt als die Fermat-Gleichung, zu lösen.

xnein + ynein = znein ,

weil algebraische Ganzzahlen auf natürliche Weise als Werkzeug zur Lösung dieses Problems dienen.

In den 1840er Jahren wurde die Bedeutung des Konzepts der Einzelfaktorisierung deutlich. 1847 kündigte der französische Mathematiker Gabriel Lamé (1795-1870) eine Demonstration von Fermats letztem Satz für jeden Exponenten an. nein in dieser Fermat-Gleichung. Der Mathematiker Joseph Liouville (1809-1882), der die vorgeschlagene Methode beobachtete, wies jedoch darauf hin, dass die Demonstration die Einzigartigkeit der einzelnen Faktorisierung auf subtile Weise voraussetzte. Liouvilles Verdacht wurde bestätigt, als er später einen Brief des brillanten deutschen Mathematikers Ernest Kummer (1810-1893) erhielt, aus dem hervorgeht, dass die Einzigartigkeit der Einzelfaktorisierung in einigen Situationen fehlschlug. Der erste Start für nein = 23. Kummer hatte vor drei Jahren einen Artikel veröffentlicht, in dem gezeigt wurde, dass die Einzelfaktorisierung in bestimmten Situationen nicht funktioniert und somit Lamés Demonstration zerstört wird. Leider wurde Kummers Artikel in einer dunklen Zeitschrift veröffentlicht und von Lamé unbemerkt gelassen.

1843 glaubte Kummer, Fermats letzter Satz unter Verwendung des Q-Körpers rationaler Zahlen, der den Wurzeln hinzugefügt wurde, demonstriert zu haben. p-ths der Einheit, das ist eine komplexe Zahl V so dass Vp = 1 wo p ist eine ungerade Primzahl. Kummer betrachtete die primitive Wurzel p-th V der Einheit, das ist eine komplexe Zahl V so dass Vp = 1 aber Vnein Quando 1 wenn 1 < nein < p. Betrachten Sie Q (V) bezeichnet die Menge aller Zahlen des Formulars

diep-2Vp-2 + diep-1Vp-1+… + die1V + die0 = 0,

wo die Koeffizienten diep-2, diep-1,… , die1 und die0 Sie sind rationale Zahlen.

Die Zahlen in Q (V) mit ganzzahligen Koeffizienten heißen algebraische Ganzzahlen von Q (V). Zum Beispiel die Zahl ½ + 3V ist ein Element von Q (V), ist aber keine algebraische Ganzzahl; 4 - 8V + 3V2 + V3 ist eine algebraische Ganzzahl.

Kummer stellte fest, dass Differenzen, Produkte und Quotienten von Q-Elementen (V) sind Elemente von Q (V) und dass die Summen, Differenzen und Produkte algebraischer Ganzzahlen algebraische Ganzzahlen sind. Auf diese Weise erweiterte Kummer die Gaußsche Ganzzahltheorie auf die Menge der algebraischen Ganzzahlen eines Körpers. Er nahm dann die folgende Zerlegung der Fermat-Gleichung vor nein = p,

xp + yp = (x + y 1) (x + y V)… (x + y Vp - 1) = zp.

Also hat er gezeigt, dass diese Gleichung keine Lösung hat x, y, z mit xyz ¹ 0. Kummer benötigte jedoch die Tatsache, dass für die ganzen Zahlen von Q (V) Die Eigenschaft der Einzelfaktorisierung ist gültig und diese Tatsache ist nicht allgemein gültig. Die eindeutige Faktorisierungseigenschaft gilt für p = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, aber nicht gültig zum Beispiel für p = 23. Diese Eigenschaft ist nicht für eine unbegrenzte Anzahl von Primzahlen gültig. p.

Kummer hatte die geniale Idee, mehr ganze Zahlen zu erzeugen, um die Eigenschaft der Einzelfaktorisierung wiederzugewinnen. Diese ganzen Zahlen gehörten jedoch nicht zu Q (V). Die Idee war, diese neuen Ganzzahlen als Faktoren der algebraischen Ganzzahlen von Q (V) so, dass die Einzelfaktorisierung zurückgewonnen werden konnte. Diese neuen Ganzzahlen wurden von Kummer Ideal Numbers aufgerufen und wie folgt betrachtet:

(diep-2 Vp-2 + diep-1Vp-1+… + die1V + die0)1 / r

wo die Koeffizienten diep -2, diep -1,… , die1 und die0 sind ganze Zahlen und r ist eine positive ganze Zahl. Die Nummer r ist nicht willkürlich, seine Auswahl hängt von bestimmten zulässigen Werten ab

die = diep-2 Vp-2 + diep-1Vp-1+… + die1V + die0.

Die Fortsetzung dieser Argumentation ist eine ganze Zahl h, genannt die Körperklassennummer, die nur von dem gegebenen Körper Q abhängt (V) und es ist so, dass was auch immer die gegeben, alle zulässigen Werte von r teilen h. Wenn Q (V) hat die Eigenschaft der Einzelfaktorisierung den Wert r = 1 ist offensichtlich das, was wir brauchen, um die Einzelfaktorisierung wiederherzustellen. Dies spiegelt sich in der Tatsache, dass Klassennummer h ist genau dann gleich 1, wenn Q (V) hat die Eigenschaft einer eindeutigen Faktorisierung.

Als Kummer seine Demonstration von Fermats letztem Theorem unter einem neuen Gesichtspunkt überarbeitete, stellte er fest, dass er es primäreren, aber nicht allen primären Exponenten demonstrieren konnte. Er fand eine Demonstration, die sich für Cousins ​​lohnte, die nicht teilten h, die Klassennummer, die dem Körper zugeordnet istQ (V). So erkannte er, dass einige Cousins ​​ein Muster hatten, das er Regelmäßigkeit nannte: Wenn der Cousin p teile dich nicht h Es wird als regulärer Cousin bezeichnet und ansonsten als unregelmäßiger Cousin. Mit dieser Eigenschaft der Regelmäßigkeit, die einige Primzahlen aufweisen, konnte Kummer zeigen, dass Fermats letzter Satz für alle Exponenten gilt. nein = p Das sind normale Cousins. Die einzigen unregelmäßigen Cousins ​​unter 100 sind p = 37, 59, 67.

Um 1850 die Schwierigkeiten der Eindeutigkeit der Einzelfaktorisierung zu überwinden und die 'ideale' komplexe Zahlentheorie einzuführen, demonstrierte Kummer den Satz von Fermat für alle Exponenten bis zu 36 und alle Prim-Exponenten unter 100 mit Ausnahme der Prim-Exponenten 37, 59 und 67. Es wird beobachtet, dass obwohl p = 23 besitzt nicht die einzigartige Faktorisierungseigenschaft, Kummers Ergebnis bei regulären Cousins ​​zeigt, dass Fermats Theorem für diesen Exponenten gilt. Darüber hinaus hat Kummer leistungsstarke Methoden entwickelt, die sich auf viele andere mathematische Probleme anwenden lassen, und wichtige Arbeiten zur atmosphärischen und ballistischen Brechung erstellt.

Diese Theorie nahm eine andere Form an als die, die Kummer uns hinterlassen hat. Der Mathematiker Dedekind (1831-1916) formulierte das von Kummer vorgeschlagene Idealzahlkonzept neu und schlug das grundlegende Schlüsselkonzept des Ideals eines Rings vor, das bis heute erhalten bleibt. Dedekinds Definition unterscheidet sich von Kummers Definition, aber es wird gezeigt, dass sie gleichwertig sind.

In der nächsten Spalte werden wir uns mit der Faktorisierung von Dedekinds Idealen befassen.

Zurück zu den Spalten

<