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Primzahlen im arithmetischen Ablauf


Wir wissen, dass eine positive ganze Zahl eine Primzahl ist, wenn sie nur durch sich selbst über 1 hinaus teilbar ist. Primzahlen spielen eine fundamentale Rolle in der Arithmetik, analog zu der Rolle von Atomen in der Struktur der Materie, dh Ganzzahlen, die keine Zahlen sind. Primzahlen können als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden. Daher ist jede ganze Zahl größer als 1 entweder eine Primzahl oder wird als Produkt von Primzahlen ausgedrückt.

Obwohl der Begriff der Primzahl im obigen Sinne offensichtlich erscheint, sind Fragen, die Primzahlen betreffen, auf dem gegenwärtigen Stand der Mathematik nicht einfach zu beantworten. Zum Beispiel wird jede ungerade Zahl in Form 4 ausgedrückt.x + 1 oder 4x + 3; also fragen wir, welche die cousins ​​von form 4 sindx + 1 und was sind die Cousins ​​von Form 4?x + 3. Wenn wir die numerischen Folgen der obigen Form erzeugen und x durch positive ganze Zahlen ersetzen, haben die resultierenden Folgen eine unendliche Anzahl von Primzahlen.?

Euklid von Alexandria (um 300 v.Chr.) Demonstrierte auf geniale Weise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dasselbe Argument von Euklid kann verwendet werden, um die Unendlichkeit von Cousins ​​der Form 4 zu demonstrieren.x + 3. Da 2 die einzige gerade Primzahl ist, wird die Menge der ungeraden Primzahlen in zwei Familien unterteilt:

i) 5, 13,17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173…;

(ii) 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151,…

wobei sich die erste Zahlenfolge auf die Cousins ​​der Form 4 beziehtx + 1 und der zweite bilden 4 Cousinsx + 3. Lassen Sie uns demonstrieren, dass es unendlich viele Typ-4-Cousins ​​gibtx + 3 mit Euklids Methode, die die Existenz von unendlichen Verwandten demonstriert.

Angenommen, es gibt eine endliche Anzahl von Primzahlen der Form 4x + 3; Nennen wir sie was1, was2, was3,… , wasnein. Betrachten Sie die positive ganze Zahl:

N = 4 was1.was2.was3wasnein - 1 = 4 was1.was2.was3wasnein - 4 + 3 = 4 ( was1.was2.was3wasnein- 1) + 3

und sei N = r1.r2.r3rM seine Zerlegung in Primzahlen. Da N eine ungerade ganze Zahl ist, folgt daraus rk unterscheidet sich von 2 für alle kund jeder rk es ist also von der Form 4x +1 oder 4x + 3. Das Produkt aus zwei oder mehr ganzen Zahlen der Form 4x +1 ergibt auch eine ganze Zahl wie diese, das heißt,

(4m + 1).(4nein + 1) = 16mn + 4m + 4nein + 1 = 4(mn + m + nein) + 1 = 4z + 1.

Daraus folgt, dass N mindestens einen Primfaktor der Form 4 hatx + 3 sagen rich = 4x + 3.

Das behaupten wir jetzt rich ist kein Element unserer ursprünglichen endlichen Liste von Primzahlen: was1, was2, was3,… , wasnein. In der Tat, sonst hätten wir rich = wasjfür einen Cousin wasj von unserer ursprünglichen Liste der Cousins ​​und dann rich würde das Produkt teilen was1.was2.was3wasnein. Andererseits sein rich ein Faktor von N, rich Teilen Sie N - 4 was1.was2.was3wasnein = -1. Bald rich Teilen Sie -1. Daraus schließen wir, dass es unendlich viele Cousins ​​der Form 4 gibtx + 3 gehe daher davon aus, dass es eine endliche Anzahl von Primzahlen der Form 4 gibtx + 3 führt uns zu einem Widerspruch.

Die nächste Frage wäre: Es gibt unendlich viele Cousins ​​dieser Form 4x + 1? Die Antwort lautet ja, aber wir müssen ein anderes Argument verwenden. Eine ähnliche Situation ergibt sich bei den Zahlenfolgen der Form 6.x +1 und 6x + 5.

Beachten Sie, dass, wenn wir die Zahlenfolge von Formular 4 generierenx + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87,… ,

Der Unterschied zwischen einem Term in der Sequenz und seinem Vorgänger ist immer gleich 4.

Gleiches gilt für Form-4-Sequenzenx + 1, 6x + 1 oder 6x + 5. Tatsächlich haben wir die folgende Definition: „a Arithmetische Progression ist eine Folge von ganzen Zahlen, in denen die Differenz zwischen einem Term (von 2die.) und der vorangegangene Begriff ist immer derselbe “.

Könnte man die Tatsache verallgemeinern, dass es in einigen arithmetischen Abläufen, wie den oben genannten, unendlich viele Verwandte gibt??

Beachten Sie, dass die oben genannten Fortschritte wie folgt sind. b + Axt wo die und b sind fest und x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., das heißt, sie haben die Form

b, b + die, b + 2die, b + 3die, b + 4die,…

Wenn die und b haben einen gemeinsamen Faktor, also enthält die arithmetische Progression keine Primzahlen, weil jedes Element der Progression diesen Faktor hat. Betrachten Sie zum Beispiel den arithmetischen Verlauf von 6 + 2xdas heißt

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…

Beachten Sie, dass 2 ein gemeinsamer Faktor von 2 und 6 ist und jeder Fortschrittsbegriff die Zahl 2 als Faktor hat. Diese Tatsache legt nahe, dass wir über Fortschritte nachdenken sollten b + Axt wo die und b Seien Sie Primzahlen zueinander, um eine unendliche Anzahl von Primzahlen wie angegeben zu erhalten b + Axt. Es scheint, dass der Mathematiker Legendre als erster die Bedeutung dieser Frage erkannte und im Jahr 1808 die folgende Vermutung veröffentlichte:Wenn a ≥ 2 und b 0 Sind positive ganze Zahlen und Primzahlen zueinander, so gibt es eine Fülle von Primzahlen in der arithmetischen Progression

b, b + a, b + 2a, b + 3die,… ”

Diese Vermutung wurde zu einem Hauptsatz und wurde 1837 von Dirichlet demonstriert. Dieses Ergebnis war aus mehreren Gründen monumental. Dirichlet verließ sich auf Eulers ursprüngliche Idee, um die Unendlichkeit von Cousins ​​und Cousinen zu demonstrieren. Revolutionäre analytische Methoden wie unendliche Reihen, Reihenkonvergenz, Grenzen, Logarithmen usw. und viele andere Konzepte, die der ganzen Zahlentheorie bisher fremd waren, wurden verwendet. Dirichlets Demonstration gilt als eine der ersten wichtigen Anwendungen analytischer Methoden in der Zahlentheorie und lieferte neue Entwicklungslinien. Die Ideen, die Dirichlets Argumenten zugrunde liegen, haben einen sehr allgemeinen Charakter und waren maßgeblich an der Entwicklung der nachfolgenden Arbeit zur Anwendung analytischer Methoden in der Zahlentheorie beteiligt.

1949 demonstrierte der Mathematiker Atle Selberg Dirichlets Satz elementar, analog zu seiner früheren Darstellung des Primzahlensatzes.

Dirichlet zeigte auch, dass jede quadratische Form in zwei Variablen, dh jede Form des Typs Axt2 + bxy + cy2 wo die, b, c, sind Cousins ​​miteinander, erzeugen eine Unendlichkeit von Cousins. Über andere Methoden, die unendliche Primzahlen erzeugen, ist nicht viel bekannt.

Andererseits können wir zeigen, dass es keine arithmetische Progression gibt, bei der alle Terme Primzahlen sind. Bis zum letzten Jahrhundert bestand ein altes offenes Problem darin, eine willkürlich lange, aber endliche arithmetische Folge zu bestimmen, in der alle Terme Primzahlen waren.

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