Im Detail

Eine unendliche Abfahrt


Die bekannteste diophantinische Gleichung ist die Fermat x -Gleichung.nein + ynein = znein. Wenn n = 2, haben wir x² + y² = z², von wo wir die pythagoreischen Anzüge erhalten. Seine Lösung erschien in der Antike im Werk „The Elements“ des griechischen Mathematikers Euklides. Den nächsten Fortschritt machten 1400 Jahre später Fermat, Leibniz und Euler. Seit dem 17. Jahrhundert haben viele der größten Mathematiker erfolglos versucht, die wunderbare Demonstration zu rekonstruieren, die Fermat für die Tatsache behauptete, dass xnein + ynein = znein Es gibt keine Lösung für ganze und positive Zahlen, wenn n> 2 ist. Fermat sagte, es passe nicht zum Rand seines Buches "Arithmetica" von Diophantus. Es wird berichtet, dass Leonhard Euler, der größte Mathematiker des 18. Jahrhunderts, seinen Freund Clerôt 1742 aufforderte, in Fermats Haus nach einem Stück Papier zu suchen, das Hinweise auf Fermats Demonstration enthielt, aber nichts gefunden wurde. Für den Fall des Exponenten n = 3 hat Euler jedoch den ersten korrekten, aber unvollständigen Nachweis erbracht.

Es ist zu beachten, dass, wenn der Exponent n> 2 keine Primzahl ist, der Exponent entweder eine Zweierpotenz ist oder durch eine ungerade Primzahl p teilbar ist. Im ersten Fall ist n = 4k und die Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden

(xk)4 + (yk)4 = (zk)4. Fermat hat jedoch gezeigt, dass die Summe zweier vierter Potenzen keine vierte Potenz ergeben kann. Im zweiten Fall ist n = pk und die Gleichung wird (xk)p + (yk)p = (zk)p Um zu demonstrieren, dass die Gleichung keine Lösung für beliebige ganzzahlige Potenzen hat, ist es ausreichend zu demonstrieren, dass die Gleichung nicht löslich ist, wenn n = p, wobei p eine ungerade Primzahl ist. Wir können das Problem noch weiter vereinfachen, wenn wir beobachten, dass, wenn x, y, z eine Lösung der Fermatschen Gleichung bilden und zwei von ihnen durch die gleiche ganze Zahl d teilbar sind, d auch die dritte dividiert (zum Beispiel, wenn d x dividiertp und zpdann gibt es ganze Zahlen die und b so dass xp = von und zp = db; bald yp = zp - xp = db -von = d(die - b), und so ist d ein Teiler von yp. Daher ist es ausreichend, Lösungen zu bestimmen, die zwei mal zwei relativ nahe beieinander liegen. Sie werden "primitiv" genannt. Wenn p eine ungerade Primzahl ist, dann (-z)p = -zp und wir können den Satz von Fermat wie folgt formulieren: „Wenn p ein ungerader Cousin ist, dann ist xp + yp + zp = 0 hat keine ganzzahligen Lösungen x, y, z, die zwei mal zwei relativ nahe beieinander liegen und so sind, dass xyz ≠ 0 ist.

Im Fall n = 4 wird die Anweisung Fermat zugewiesen. Diese Demonstration basiert auf einer Form der Induktion, die er erfunden und die "Infinite Descendant Method" genannt hat. Diese Methode wurde erfolgreich auf zahlreiche andere Probleme angewendet und verwendet die indirekte Demonstration, die auch als "Reductio ad Absurdum" -Demonstration bekannt ist. Der Widerspruch ergibt sich also aus der Verneinung der These und wir schließen daraus, dass die ursprüngliche These wahr ist. Die Descendant-Methode kann kurz wie folgt beschrieben werden: Wir nehmen an, dass es eine ganzzahlige und positive Lösung für ein Problem gibt, und zeigen daraus, dass wir eine andere ganzzahlige und positive Lösung erhalten können, die kleiner als die vorherige ist, und fahren auf diese Weise fort. Dieses Argument ist widersprüchlich, denn wenn wir von einem positiven Wert ausgehen und aus diesem gegebenen Wert eine abnehmende Folge positiver Werte konstruieren, erhalten wir nach einer endlichen Anzahl von Schritten entweder null oder negative ganze Zahlen. Wir kommen also zu einem Widerspruch, der sich aus der Annahme ergibt, dass das Problem eine vollständige und positive Lösung hat, und daher folgt aus der Reduktion auf das Absurde, dass das Problem keine Lösung hat. In der nächsten Spalte werden wir den Fall n = 4 von Fermats Theorem unter Verwendung der Descendant-Methode demonstrieren.

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