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Kein Spaß, ein leeres mathematisches Universum


So einfallsreich und kreativ wir auch sein mögen, wir können nicht auf die Existenz von Mengen anderer Axiome schließen, die die Hypothese der Existenz irgendeiner Menge nicht mehr in sich enthalten. Um genauer zu sein, können wir zumindest sagen, dass bis heute niemand das Kunststück vollbracht hat, eine Menge aus anderen Axiomen, die keine Existenzhypothese mehr enthalten, mathematisch ins Leben zu rufen. Verlängern wir deshalb nicht diese Qual der Nichtexistenz von Mengen. Wir beugen uns der Realität unserer Ohnmacht, Sets aus dem Nichts zu produzieren ... Lassen Sie sich davon überzeugen, dass es von nun an Sets gibt. Diese unbestrittene Wahrheit wird unsere sein Zero Axiom.

Beachten Sie jedoch, dass wir unseren Wunsch nach einem Satz in Mathematik nicht überbewerten. Die Annahme, dass es Mengen gibt, berechtigt uns nicht zur Angabe, dass es mehr als eine Menge gibt. Das meiste, was wir über die Existenz von irgendetwas sagen können, ist das der Axiome 0, 1, 2 und 3, nur Axiom 0 versichert uns, dass es Mengen gibt, aber es sagt uns nicht, wie viele Mengen es gibt.

Wir müssen dann feststellen, welche Konsequenzen sich aus diesen vier Axiomen ergeben, und insbesondere dann, wenn wir schließen können, dass es in der Mathematik viele Mengen gibt. Erinnern wir uns an Axiom 2, das besagt, dass wenn die Wäre ein Set bereits vorhanden, dann gäbe es auch das Set b = {x Zugehörigkeit zu die: A (x)}, was verstanden werden kann alsb ist die Untermenge von die gebildet durch die Sätze x das gehört zu die und das befriedigt die eigenschaft A" Jetzt können wir uns sofort eine einfache Eigenschaft vorstellen A (x): x x.

Das ist die Eigenschaft, über die wir nachdenken x erfüllt die Bedingung von sei anders als du selbst. Also definieren wir die Menge b = {x Zugehörigkeit zu die: A (x)}= {x Zugehörigkeit zu die: x x }. Sie erkennen bereits, dass es zu dieser Menge keine Mengen gibt, da es keine Menge gibt, die sich von sich selbst unterscheidet. Wenn wir also an die Teilmenge der Mengen der Menge denken die die sich von sich selbst unterscheiden, denken wir an eine Menge “nichtig" Wir entdecken dann, dass der erste Satz, der uns präsentiert wird, genau der ist leeres SetDies ist eine Menge mit der Eigenschaft, dass die Menge X des mathematischen Universums, zu der auch immer X gehört, nicht zu der Menge X gehört leeres Set. Lassen Sie uns diesen ersten Satz taufen, der entstanden ist Æ. Interessanterweise ist dies genau der erste Satz, von dem wir wissen, dass er a istSet mit nichts drin”.

Mathematik ist so, es ist immer erstaunlich. Wünschen Sie weitere Überraschungen? Nun, lassen Sie uns nun aus der leeren Menge ableiten, dass es sie gibt ÆUnendliche Mengen im mathematischen Universum. Denken Sie an Axiom of the Pair und Axiom 3: so wie Æ existieren wir können die Menge bilden { Æ, Æ} = { Æ}. Unter Verwendung des Axioms des Paares und des Axioms 3 schließen wir wieder, dass es die Menge gibt {Æ, { Æ}}. Jetzt hören wir nicht mehr auf: Wenn wir Axiome 2 und 3 nacheinander anwenden, erhalten wir die unendliche Folge von Mengen: Æ, {Æ}, {Æ, { Æ}}, {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}}, … .Wir sind bereit für die folgende Definition und Anerkennung: 0 = Æ, 1 = {Æ}, 2 = {Æ, { Æ}}, 3 = {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}},… Du wurdest gerade mit dem berühmten “natürliche Zahlen„Die ihrerseits gerade geboren wurden und die ersten Bewohner des mathematischen Universums geworden sind. Beachten Sie auch, dass 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, ... HERAUSFORDERUNG: Lesen Sie diese Spalte sehr sorgfältig und so oft wie nötig, bis Sie absolut überzeugt sind, dass Sie verstehen, was "natürliche Zahlen" sind. Die letzte Herausforderung besteht darin, ihn zu bitten, zu beweisen, dass die natürlichen Zahlen alle zwei mal zwei sind. Es gibt also unendlich viele mathematische Objekte!

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