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Diophantingleichungen I


Seit der Antike ist bekannt, dass die Suche nach allen positiven ganzen Zahlen, die die Identität x² + y² = z² erfüllen, dem Problem der Bestimmung aller rechtwinkligen Dreiecke entspricht, deren Seiten ganze Zahlen sind. Solche Anzüge heißen Pythagoreisch und die Gleichung x² + y² = z², deren Lösungen positive ganze Zahlen sind, heißt Diophantinische Gleichung. Diese Gleichung kann auf xⁿ + yⁿ = zⁿ verallgemeinert werden, wobei nein ist eine natürliche Zahl und nein > 2. Es ist bekannt als Fermats Gleichung, die bekannteste in der Mathematik und wird Gegenstand einiger unserer Überlegungen sein. Ein weiteres berühmtes Beispiel für die diophantinische Gleichung ist die Fibonacci-Kurve, dh das Gleichungssystem x² + y² = z², x² - y² = t², das 1220 von Leonardo de Pisa, besser bekannt als Fibonacci, erstmals untersucht wurde.

Der griechische Mathematiker Diophantus von Alexandria (4die Century BC) untersuchte als erster das Problem der Bestimmung ganzer Gleichungslösungen, insbesondere in Fällen, in denen die Anzahl der Variablen größer ist als die Anzahl der Gleichungen. Diophantus war zufrieden damit, eine einzige Lösung anstelle aller Lösungen zu finden, und erlaubte gebrochene Lösungen anstelle ganzer Lösungen. Diese Unterscheidung ist jedoch irrelevant: Betrachten Sie beispielsweise die Gleichung x² + y² = z². Wird eine fraktionierte Lösung erhalten, so wird daraus eine ganze Lösung erhalten. Umgekehrt, wenn eine vollständige Lösung gefunden wird, erhält man einen Bruchteil davon. Zum Beispiel erhalten wir aus Lösung (3,4,5) Lösung (3 / 6,4 / 6,5 / 6), dh (1 / 2,2 / 3,5 / 6) und umgekehrt das am wenigsten verbreitete Vielfache. Diophantus verdankt es der Grundidee, ganze Lösungen und einige grundlegende Theoreme über die Darstellung von Zahlen als die Summe von Quadraten zu studieren, von denen er die Aussagen teilweise kannte, und anderen, deren Aussagen er nicht kannte.

Das Studium der diophantinischen Gleichungen ist eine der schönsten und interessantesten und auch eine der schwierigsten, denn in ihrem Wesen liegen die tiefen und subtilen Verbindungen, die die Zahlentheorie mit der Logik, der algebraischen Geometrie und der Theorie von unterhält Diophantine Ansätze. Andererseits gibt es keine allgemeine Methode, die entscheidet, ob eine beliebige Gleichung ganzzahlige Lösungen enthält oder nicht, oder eine Methode, die festlegt, wie viele Lösungen die Gleichung zulässt. 1900 hielt der Mathematiker David Hilbert (1862-1943), einer der angesehensten und einflussreichsten seiner Zeit, eine Rede auf dem Internationalen Mathematikkongress in Paris, wo er die Probleme ankündigte, die seiner Ansicht nach die wichtigsten des Jahrhunderts sein würden. XX. Unter diesen Problemen befasste sich das zehnte mit der Untersuchung eines Algorithmus, mit dem in einer endlichen Anzahl von Schritten entschieden werden kann, ob eine beliebige diophantinische Gleichung eine Lösung hat und wenn ja, wie viele Lösungen es gibt. In den folgenden Jahren untersuchten mehrere Mathematiker intensiv die Existenz eines solchen erfolglosen Algorithmus und begannen dann, die Existenz eines solchen Algorithmus anzuzweifeln. 1961 zeigten Martin Davis, Hillary Putnam und Julia Robinson unter Verwendung von Logik und Zahlentheorie, dass ein solcher Algorithmus nicht existieren konnte, gingen jedoch davon aus, dass eine bestimmte Hypothese gültig war. 1970 bewies der junge russische Mathematiker Y. Matijasievič, dass eine solche Hypothese zutrifft. Somit wurde gezeigt, dass ein solcher Algorithmus tatsächlich nicht existieren könnte. Interessant ist hier, dass ein solcher Algorithmus, der zur Lösung aller diophantischen Gleichungen dient, nicht existiert, dh ein Algorithmus, der für alle Gleichungen in einer endlichen Anzahl von Schritten entscheidet, ob es eine Lösung gibt oder nicht. Dies hindert uns jedoch nicht daran, irgendwann Lösungen oder sogar alle Lösungen einer bestimmten Gleichung zu finden, beispielsweise die Gleichung x² + y² = z². Daher gibt es kein gemeinsames Rezept zur Lösung aller diophantinischen Gleichungen. Jede Gleichung hat ihre eigene Spezifität, was teilweise erklärt, warum dieses Forschungsgebiet so schwierig ist.

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