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Das bestellte Paar


Das dritte Axiom erlaubte uns, die "gerade" Menge zu bilden: {die, b}. Erinnern Sie sich, dass dieses Set nur existiert, wenn die und b existierte bereits zuvor. Wir sollten "Paar" nicht mit dem "bestellten Paar" verwechseln. "Ordnung" in der Mathematik ist von grundlegender Bedeutung. Wir sprechen hier von "Ordnungsverhältnis". Um zukünftige Ordnungsbeziehungen aufzubauen, die für uns sehr nützlich sein werden, müssen wir einen ersten Schritt machen. Der erste Schritt kann, wie der Astronaut, der zum ersten Mal auf den Mond trat, eine große Bedeutung haben. Ähnliches geschah mit der "Entdeckung" des "bestellten Paares". Es war Norbert Wiener, der als erster richtig "sah", was ein bestelltes Paar ist. Er hatte die glückliche Intuition, dass das bestellte Paar nicht mehr als das Ganze ist {{die}, {die, b}}. An dieser Stelle können wir natürlich drei Probleme betrachten: Das erste ist, ob das Ganze {die} da ist; der zweite ist ob das ganze {die, b} existiert und das dritte ist, ob ein geordnetes Paar existiert. Wir dürfen nicht vergessen, dass dies unsere Hypothese ist die und b Sie erhalten Mengen. Wir können folgendes sagen: Nehmen wir das an die und b Es gibt existierende Mengen, weil es auch Mengen geben würde

{die}, {die, b} und {{die}, {die, b}}?

Möglicherweise haben Sie bereits bemerkt, dass das zweite Problem durch das dritte Axiom gelöst wurde, nämlich das ZF (3). Beachten Sie nun, dass wenn {die} existieren dann wieder bei ZF (3)Wir kommen sofort zu dem Schluss, dass das dritte Problem gelöst ist, das heißt, dass die bestellte gerade Menge existiert. Es bleibt uns daher zu rechtfertigen {die} Es existiert Wir wissen nicht, wie man mit der Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorie Wunder vollbringt. Die einzige Möglichkeit, unser Problem zu lösen, besteht darin, auf die Axiome zurückzugreifen, die bereits als wahr angenommen wurden oder deren Konsequenzen bereits abgeleitet wurden. So funktioniert ein Teil der mathematischen Forschung. Aber welches der drei Axiome brauchen wir? Oder brauchen wir alle drei und einige weitere Wahrheiten, die bereits abgeleitet wurden?

In der Mathematik ist es sehr verbreitet, einfache und verwelkte Argumente für die Demonstration von Wahrheiten zu entdecken. Das ist unser Fall, denn das ganze zu sehen {die} existiere, argumentiere einfach das {die, die} existiert nach dem Axiom ZF (3), da wir das annehmen die gibt es!

Wir brauchen wirklich nur ein Detail: warum {die} = {die, die}? Erinnerst du dich an die erste Wahrheit? Erinnern wir sie:

ZF (1) Extension Axiom:

wenn die und b sind sets und wenn für alle xdie dann und nur wenn x bdann die = b.

Die erste Wahrheit der Zermelo-Fraenkel-Theorie besagt, dass zwei Mengen gleich sind, wenn und nur in diesem Fall die Relevanz von x Eine davon entspricht der Relevanz von x miteinander. Nun ist es jetzt nicht klar, dass {die} = {die, die}?

Es kostet nichts, diesen Punkt zu betonen, weil Sie vielleicht gerade erst mit Ihrer mathematischen Erfahrung beginnen und noch nicht sehr vertraut mit der Genauigkeit und Subtilität der Mathematik sind: Diese beiden Mengen sind dieselben, weil alle x was einem von ihnen gehört, gehört dem anderen. Beachten Sie, dass das Wort alle mag den Eindruck vieler erwecken, aber hier gibt es nur eine Menge (die Menge die) spielt die Rolle von x. Damit ist die Existenz des geordneten Paares festgestellt. {{a}, {a, b}} was wir durch angeben werden (a, b). Denken Sie daran, dass wir immer noch nicht wissen, ob da ist einige spielen im Universum der Zermelo-Fraenkel-Theorie. Wir zeigen nur, dass es, wenn es einen Satz gibt, auch ein geordnetes Paar gibt. Herausforderung für Sie in einer Woche zu entziffern: warum (a, b) ≠ {a, b} ?

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Video: Ein Paar genoss ihre Bestellung bis der Manager etwas sagte, dass sie wutend machte! (Kann 2021).