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Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen V


Daher kann ein Vektor ein Naturphänomen darstellen, und Operationen zwischen Vektoren repräsentieren weiterhin Naturphänomene. Es ist daher unvermeidlich zu fragen: Welche anderen Operationen zwischen Vektoren repräsentieren die Phänomene der Natur? Welche Vektoralgebren können das Verhalten der Natur enträtseln? Wie weit kann Homo sapiens sapiens bei dieser Untersuchung der Natur gehen?

Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen IV

Der Sinus funktioniert f(was) = Der sen (wq + was0) sind mathematische Modelle für elektromagnetische Signale oder Wellen, z A ist die Amplitude, w ist die Signalfrequenz und was0 Es ist die Anfangsphase. Diese mathematischen Modelle eignen sich sehr gut zur Beschreibung der Spannungen, die Wechselstromgeneratoren in stationären Schaltkreisen liefern.

Bei einem einigermaßen gut verhaltenen periodischen Signal können wir es als eine unendliche Summe von Sinusfunktionen beschreiben (denken Sie daran, dass Kosinusfunktionen auch eine Art von Sinusfunktionen sind), wie es Joseph Fourier (1768-1830), einem französischen Mathematiker, sehr nahe kommt Napoleon und der erste, der eine systematische Untersuchung der Approximation von Funktionen durch trigonometrische Reihen durchführte. 1822 veröffentlichte er sein berühmtes Werk Theorie Analytique de la Chaleur. Daniel Bernoulli (1700-1782) hatte bereits einen solchen Ansatz zur Lösung dynamischer Saitenprobleme untersucht (1747). 1824 erhielt Fourier die unendliche Summe, die die Bewegung einer Wärmewelle durch einen Körper beschreibt.

Die Fourier-Analyse, ein wichtiger Zweig der zeitgenössischen Mathematik, der sich als Ergebnis von Fouriers Entdeckung entwickelte, ist keine triviale Studie. Insbesondere der mathematische Umgang mit einfachen Stromkreisen ist keine einfache Aufgabe. Die Ingenieure haben jedoch festgestellt, dass komplexe Zahlen, selbst wenn sie von vielen als „imaginäre“ Zahlen betrachtet werden, die mathematische Behandlung elektrischer Schaltungen erheblich vereinfachen können.

Eine RLC-Schaltung, dh mit Widerstand, Spule und Kondensator, falls die elektromotorische Kraft (f.e.m.) und(t) ist eine Sinuskurve (oder eine Cosinuskurve), ein wichtiger Fall von Wechselstrom, der eine elegante und einfache Lösung für die darin zirkulierende Ladung durch eine algebraische Behandlung unter Verwendung der der komplexen Multiplikation untergeordneten Ebenenvektoren zulässt. .

Es ist die Behandlung der Elemente eines Stromkreises durch Zeiger. Erinnern wir uns jedoch an die Kirchhoff-Gesetze.

Der deutsche Physiker Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) kündigte 1845 die Gesetze an, die es erlauben, Ströme, Spannungen und Widerstände elektrischer Stromkreise gleichzusetzen. Das heißt, in Bezug auf die Spannungsänderungsrate dVR/dt ist proportional zum Strom ich = dQ/dt im Augenblick twoher wir geschrieben haben:

dVR/dt = R ich = R dQ/dt;

am Kondensator die Änderungsrate der Spannung dVC/dt ist umgekehrt proportional zur Last Q.(t) im Moment twoher wir geschrieben haben:

dVC/dt = Q./C;

und in der Spule die Spannungsänderungsrate dVL/dt ist proportional zur Änderungsrate des Stroms di/dt im Augenblick twoher wir geschrieben haben:

dVL/dt = L di/dt = L d2Q./dt2.

Wir verwenden die berühmte Notation dy/dx des deutschen Philosophen und Mathematikers Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) für die augenblickliche Änderungsrate einer Größe y wegen eines anderen x. Wir beobachteten, dass die zweite augenblickliche Änderungsrate d2Q./dt2 der elektrischen Ladung Q. ist die erste augenblickliche Änderungsrate di/dt des elektrischen Stroms ich relativ zur Zeit t.

Man betrachte die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (EDOL), die sich aus der Vorstellung ergibt, dass die Summe der Spannungsabfälle gleich f.e.m ist. an die Schaltung geliefert:

L d2Q.1/dt2 + R dQ1/dt + Q.1/ C = V cos (w t)

wo V ist der Maximalwert von f.e.m. zur Verfügung gestellt.

Um Leonhard Eulers berühmte und schöne Formel anzuwenden (undjx = cos x + j sen x) wo j ist die komplexe Einheit so, dass j2 = -1, stellen wir uns eine versteckte Symmetrie für die obige elektrische Gleichung vor, die nichts anderes ist als die gleiche Schaltung, die eine f.e.m. gegeben durch V sen (w t), die daraufhin mit a Q.2 und ein Strom ich2.

Wir vervollständigen dann die komplexe Symmetrie dieses EDOL, indem wir ihm seine imaginäre symmetrische Ergänzung hinzufügen, dh die Gleichung:

L d2Q.2/dt2 + R dQ2/dt + Q.2/ C = V sen (w t).

Die imaginäre Ladung Q.2 symmetrisch mit der Last verbunden Q.1 bildet eine komplexe Ladung Q. Nur damit wir die Euler-Formel verwenden können. Diese Formel zeigt, dass das Lösen einer dieser Gleichungen automatisch das Lösen der symmetrischen Gleichung bedeutet. Dies ist auf die flache Vektornotation und die komplexe Notation von Euler zurückzuführen, mit denen die beiden Gleichungen zu einer zusammengeführt werden können. Verwenden von Anführungszeichen für die Notation dy/dx von Leibniz haben wir:

L(Q.1´´ + jQ.2´´) + R(Q.1´ + jQ.2´) + (Q.1 + jQ.2)/ C = V cos (w t) + jV sin (w t),

das heißt, wir komplexisieren die elektrischen Ladungen und die f.e.m.´s. So haben wir:

LQ´´ + RQ´ + C-1Q = V ejGewicht.

mit Q. = Q.1 + jQ.2, Q.´ = Q.1´ + jQ.2´, Q.´´ = Q.1´´ + jQ.2´´ e undjGewicht = V (cos (w t) + j sen (w t)).

Diese Symmetrisierung gilt in gleicher Weise für das berühmte und wichtige EDOL, das als Federmassensystem bekannt ist, das den Ingenieuren altbekannt ist und bei dem die äußere Kraft auf das System einwirkt, das die Rolle von f.e.m. an den Stromkreis angelegt, ist in der Art und Weise periodisch V cos (w t) oder V sin (w t).

Die komplexe elektrische Lösung von EDOL ist ein Zeiger, dh eine komplexe elektrische Ladung, die einen komplexen elektrischen Strom liefert ich(t) = K undjGewicht. Daher kann ein analoges komplexes Feder-Masse-System auch durch Zeiger gelöst werden, wenn die auf das System ausgeübte externe Kraft wie folgt periodisch ist. V cos (w t) oder V sen (w t).

Was ist unser praktischer Gewinn mit dieser komplexen Vektorphantasie eines Zeigers, das heißt eines komplexen elektrischen Stroms? ich(t) = K undjGewicht? Dank der Eigenschaft, dass die augenblickliche Änderungsrate der Exponentialfunktion selbst ist, ist der praktische Gewinn enorm.

Angenommen, die komplexe vektorelektrische EDOL-Lösung ist ein Zeiger, dh eine komplexe vektorelektrische Ladung, die durch einen komplexen Ausdruck dargestellt werden kann. Also:

(t) = K undjGewicht = ich(t) Þ Q.(t) = ò K undGewichtj dt = - jw-1 K undGewichtj.

Berechnen der ersten augenblicklichen Änderungsrate des Stroms, den wir haben:

ich(t) = K undGewichtj Þ ich´(t) = w j K undGewichtj.

Wenn wir diese Ausdrücke in den komplexen Vektor EDOL einsetzen, erhalten wir:

L (w j K undGewichtj) + R K undGewichtj - C-1 (jw-1 K undGewichtj) = V eGewichtj.

Teilen Sie die beiden Glieder der Gleichung durch undGewichtjkommt das:

L (w j K) + RK - C-1 jw-1 K = V.

Das heißt, die komplexe Konstante K wird gegeben durch:

K = V / R + (Lw - C-1w-1) j Û K = V R - (Lw - C-1w-1) j / R2 + (Lw - C-1w-1)2.

So können wir schreiben: ich(t) = ich1(t) + j ich2(t) = K undGewichtj Þ

ich(t) = ich1(t) + j ich2(t) = V R + (C-1w-1 - Lw) j cos(w t) + j sen(w t) / R2 + (Lw - C-1w-1)2,

woraus wir gleichzeitig schließen, dass:

ich1(t) = V R cos (w t) - (C-1w-1 - Lw) sen (w t) / R2 + (Lw - C-1w-1)2,

ich2(t) = V (C-1w-1 - Lw) cos (w t) + R sen (w t)/R2 + (Lw - C-1w-1)2.

Um die tatsächlich benötigten Lasten zu erhalten, integrieren wir einfach die tatsächlichen Ströme:

Q.1(t) = Vw-1 R sen(w t) + (C-1w-1 - Lw) cos(w t)/ R2 + (Lw - C-1w-1,

Q.2(t) = Vw-1 (C-1w-1 - Lw) sen(w t) - R cos(w t)/R2 + (Lw - C-1w-1.

Ingenieure haben festgestellt, dass die Definition einer komplexen Impedanz noch interessantere Vorteile mit sich bringt. Wir definieren die komplexe Impedanz der RLC-Schaltung als den Quotienten

Z = V/Ich = V ejGewicht / K undjGewicht = V ejGewicht / {V undjGewicht / R + (Lw - C-1w-1) j} = R + (Lw - C-1w-1) j.

Daher die komplexe Impedanz Z = R + (Lw - C-1w-1) j enthält in seinem realen Teil den Widerstand R der Schaltung und in seinem imaginären Teil die Konstante L der Induktivität der Spule die Konstante C Kondensator und Frequenz w von f.e.m. an die Schaltung geliefert.

Von dort aus vereinfachten die Ingenieure die Behandlung elektrischer Schaltkreise erheblich und es gelang ihnen, mathematische Entwicklungen in der Analyse von Schaltkreisen und elektrischen Netzwerken noch umfassender und effektiver zu gestalten.

Wir sind hier daran interessiert, über die faszinierende Fähigkeit flacher Vektoren oder komplexer Zahlen nachzudenken, um das Verhalten der Natur klar, einfach und effizient zu beschreiben, wie wir oben beispielsweise bei einfachen elektrischen Schaltkreisen oder bestimmten Federmassensystemen gesehen haben. . Daher kehren wir zu unserer Beobachtung zurück, dass ein Vektor ein Naturphänomen darstellen kann und Operationen zwischen Vektoren weiterhin Naturphänomene darstellen. Sogar, wie wir oben gesehen haben, können ihre momentanen Variationsraten immer noch natürliche Phänomene darstellen. Somit können Zeiger eine elektrische Spannung, eine elektrische Ladung, einen elektrischen Strom oder eine elektrische Impedanz darstellen, und die algebraischen Operationen zwischen ihnen zeigen weiterhin Verhaltensweisen aus der Natur an. Es ist daher unvermeidlich, immer wieder zu fragen: Welche anderen Operationen zwischen Vektoren repräsentieren die Phänomene der Natur? Welche Vektoralgebren können das Verhalten der Natur enträtseln?

Wie weit kann Homo sapiens sapiens in dieser Forschungsrichtung gehen?

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Video: K5 Symmetrie und Antisymmetrie von Relationen (Oktober 2020).