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Grundsätze und Ideale eines Mathematikstudenten des 21. Jahrhunderts (IV)


Was ist "Axiomatisches Studium der Mathematik"? Wie lernt man mathematische Wahrheiten genau kennen und kennen? Der Student, der sich diese Fragen nie selbst stellt, wird nie wirklich mit seinem Mathematikstudium beginnen, zumindest nicht mit der faszinierenden Mathematik, die wir von Leuten wie David Hilbert geerbt haben. Wir sind bereit für die zweites Prinzip. Mach keinen Fehler! Wenn Sie nicht in der Lage sind, selbst zu lesen und zu schreiben, wird es niemand für Sie tun. Ihre intellektuelle Autonomie ist Ihre einzige Hoffnung, wirklich Fortschritte in der Mathematik zu erzielen! Sie sind zur gleichen Zeit frei zu denken und dazu verdammt, jeder Aussage zu misstrauen, die zu Ihnen kommt, bis Sie es selbst machen oder sich davon überzeugen, dass Sie es schaffen könnten.

Schauen Sie sich also alles an, was Sie in Mathe lernen. Sowohl was in den Büchern steht als auch was von Lehrern oder Gleichaltrigen erzählt wird. Lassen Sie sich nicht von "Ihren eigenen Gedanken" und Ihrer "Intuition" ablenken, da diese Sie viel leichter irreführen oder in die Irre führen können, als es scheint.

1931 hat der Mathematiker Kurt Gödel in Wien (Österreich) gezeigt, dass es mathematische Wahrheiten gibt, die nicht nachweisbar sind, wenn die in Russel und Whiteheads Principia Mathematica begründete Mathematik konsistent ist. Wir stellen uns vor, dass es für einen Mathematikstudenten, egal ob er ein angehender Mathematiklehrer oder ein angehender Bachelor of Mathematics ist, peinlich ist, ohne solche Grundkenntnisse einen Abschluss zu machen. Hier ist ein weiteres einfaches Kriterium, das sich aus den ersten beiden Prinzipien ableitet: Es ist interessant zu wissen, ob Ihre Bemühungen nicht mit veralteter Mathematik verschwendet werden. Es ist interessant, sich selbst davon zu überzeugen, ob Ihr Studium ein Minimum an Kenntnissen der mathematischen Logik vorsieht, zum Beispiel Vorstellungen von Gödels Unvollständigkeitssätzen und die Information, dass niemand weiß, ob Mathematik konsistent ist oder nicht!

Bis 1974 bemühte sich der Mathematiker Gregory Chaitin zu zeigen, dass "die meisten mathematischen Wahrheiten entschädigungsfähig sind". Der Student der bewussten Mathematik würde sich nicht erlauben, diese Tatsache zu ignorieren. Wenn Godel herausfand, dass "es wiedergutzumachende mathematische Wahrheiten gibt", war es erst 40 Jahre später interessant zu fragen, ob die Anzahl der wiedergutzumachenden mathematischen Wahrheiten nicht nur eine irrelevante Zahl ist. Aber Chaitin hat darauf aufmerksam gemacht, dass diese Zahl nicht irrelevant ist, im Gegenteil, die Zahl der nachweisbaren Wahrheiten ist, dass sie "klein" ist!

Wir, die wir hier schreiben, haben alle Grund- und Grundschulen durchlaufen und diese Tatsache ignoriert. Eine Entschuldigung ist, dass in den 1970er oder 1980er Jahren wissenschaftliche Informationen nicht so weit, effektiv und schnell verbreitet wurden. Heute ist es sehr einfach, Chaitins Ideen zu kennen. Besuchen Sie einfach seine Website im Internet. Diese Vorstellung von Chaitin ist ernst und hat große Auswirkungen auf die Art und Weise, wie wir Mathematik studieren. Wenn wir diese Informationen zu ihren endgültigen Konsequenzen bringen, müssen wir ernsthaft überlegen, ob wir unsere aktuellen Studien- und Forschungsstrategien grundlegend ändern können. Wir werden uns hier nicht mit dieser Diskussion befassen, denn unser Ziel ist es, nur ein paar Prinzipien und Ideale vorzuschlagen, die, wenn sie vom Mathematikstudenten befolgt werden, Ihr Bewusstsein auf den historischen Höhepunkt des 21. Jahrhunderts bringen. Zum Beispiel ist es bei denjenigen, die diese Kolumne schreiben, sehr einfach, ein College zu durchlaufen, in der Tat viele, und grundlegende Informationen zu ignorieren, die bereits Teil der Mathematik sind.

Es überrascht nicht, dass es viele andere Beispiele gibt. Sie sind sogar dramatisch. In den 1970er Jahren, als wir unser erstes College besuchten, fanden einige spektakuläre Revolutionen in der Mathematik statt, von denen wir absolut nichts wussten!

Studierende, die in den 1970er und 1980er Jahren regelmäßig an den brasilianischen Fakultäten für Mathematik eingeschrieben waren, beschäftigten sich intensiv mit ihren "alten mathematischen Themen" und konnten sich zu diesem Zeitpunkt der spektakulären Revolutionen in verschiedenen Bereichen der Mathematik nicht bewusst sein. Es war der Fall derer, die diese Kolumne geschrieben haben. Beispiele: Die Entdeckung, dass nichtlineare Phänomene kein irrelevanter Bestandteil der Wissenschaft sind, im Gegenteil, sie sind fast die Gesamtheit der Natur!

Überraschenderweise enthüllt die Entdeckung, dass Funktionen ersten und zweiten Grades bereits unter einem bestimmten Gesichtspunkt betrachtet werden, die faszinierende Welt des Chaos, die Entstehung der Ordnung innerhalb des Chaos, die Selbstorganisation des Chaos und die universelle Bifurkation. in den Phänomenen der Natur die Feigenbaum-Konstante, die Fraktale Geometrie (von Mandelbrot "die wahre Geometrie der Natur" genannt) und vieles mehr, was wir hier nicht beschreiben konnten. Mit anderen Worten, die faszinierende und sehr ernste Entdeckung, dass die Unberechenbarkeit und Unregelmäßigkeit der Natur bereits im Verhalten von „lächerlich einfachen, einvariablen“ Funktionen vorhanden ist!

Unsere Vorschläge sollen in gewisser Weise verhindern, dass "unsere Zeitverschwendung" von gegenwärtigen Studenten wiederholt wird, die Mathematik mögen und vermuten, dass dies sehr wichtig ist. Niemand hier behauptet, es sei einfach, ein Mathematik-College zu besuchen und sich gleichzeitig der wichtigsten Tatsachen bewusst zu werden, die jeden Tag auftreten, um die Mathematik zu revolutionieren und voranzutreiben. Es gibt jedoch einige Tatsachen, die der Mathematikstudent niemals als unwissend hinnehmen wird. Dazu muss er bestimmten edlen Prinzipien und Idealen folgen, die ihn auf einem Weg führen, der die wichtigsten Landschaften enthält, die gesehen werden müssen. Wie dritter Grundsatz Wir schlagen folgendes vor: versuchen, Bücher und Texte, die mathematisches Wissen didaktisch verbreiten, von Büchern zu unterscheiden, die für Fachleute auf einem bestimmten Gebiet geschrieben wurden.

Der Mathematikstudent sollte nach Büchern und Texten suchen, die einem Anfänger ehrlich und kompetent mathematische Kenntnisse vermitteln. Leider gibt es Bücher, die die schulische Ausbildung nicht nur behindern, sondern sogar irreparabel schädigen können. Ein Buch ist nicht fehlerfrei, nur weil es ein veröffentlichtes Buch ist. Der Schüler sollte sich bewusst sein, dass auch gute Bücher schwerwiegende Fehler enthalten können. Auf diese Weise wird der umsichtige Schüler immer versuchen, sich über ein bestimmtes Thema zu informieren, was auch immer es sein mag, und zwar über mehrere Bücher, sagen Sie mindestens 3! Dies ist eine willkürliche Zahl, ein „Kick“, aber es ist viel besser als eine einzelne Quelle und sogar besser als nur zwei Referenzquellen.

Es gibt bestimmte "Anzeichen", die auf die schlechte Qualität eines Buches oder dessen Ineffizienz für den Fortschritt der Schüler hinweisen. Zum Beispiel kamen wir kürzlich mit einer Tabelle in Kontakt, die keinen Index enthielt. Der Verlag hat keinen Grund angegeben, ein anderes Calculus-Buch auf den Markt zu bringen, was seltsam ist, da bereits Hunderte guter Calculus-Bücher zum Kauf angeboten werden. Der Schüler sollte nach einem guten Grund suchen, ein Buch zu studieren. Wenn das Buch über keinen Index verfügt, wurde es möglicherweise von den Lesern missachtet, da der Index für jede Lese- und Studienstrategie von großer Bedeutung ist.

Ein weiteres Beispiel: Wenn wir ein Buch mit Berechnungen verschiedener Variablen untersuchen, suchen wir nach der Demonstration des Stokes-Theorems. Wenn es uns gut erklärt, verständlich und richtig erscheint, dann werden wir eine große Anziehungskraft für dieses Buch haben. Ein weiteres Beispiel stammt aus der Algebra: Ein Buch über Gruppentheorie, in dem Sylows Theoreme nicht vollständig dargestellt werden, einschließlich der von Wielandt entdeckten Gruppenaktionsdemonstrationsstrategie, verdient vom Studenten des 21. Jahrhunderts keine Glaubwürdigkeit. Die Bedeutung dieser Theoreme und die Schönheit von Wielandts Demonstration sind für einen Geist des Informations- und Wissenszeitalters nicht zu übersehen.

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