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Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen IV


Wir fragten: Welche anderen Interpretationen physikalischer Phänomene sind mit den flachen Vektoren und ihren Operationen möglich?

Erinnern Sie sich an die wichtige Formel zur Berechnung der Elementararbeit, die die Kraft leistet z führt an einem Körper entlang der Verschiebung w, gegeben von:

z·w = |z|.|w| cos die = aa + bB,

wo die ist der kleinste der beiden Winkel zwischen z = (die, b) und w = (A, B). Wir nennen diese Berechnung das Skalarprodukt von z von w”.

Wir haben festgestellt, dass es noch eine weitere zulässige Multiplikation für komplexe Ebenenvektoren von großer physikalischer Bedeutung gibt: Es ist das sogenannte Vektorprodukt, das auch von unserem Leser bekannt ist und dessen Länge die Fläche des Parallelogramms der Seiten istz| und |w| gegeben durchz ´ w | = |z|.|w| sen diewo z ´ w. Es ist interessant, sich daran zu erinnern z ´ w Es ist auch ein Vektor, aber ein Vektor im Raum außerhalb der Ebene komplexer Vektoren. Diese Erfindung ist nicht willkürlich, sie hat eine wichtige physikalische Motivation. Dieses Produkt wurde als Vektor senkrecht zur z und wmit dem Sinn, der durch die rechte Regel oder die Korkenzieherregel gegeben ist, und als Länge die Fläche des Parallelogramms, das durch erzeugt wird z und w.

Aber wie berechnet man das? Nehmen wir die Gelegenheit wahr, um festzustellen, dass die Physiker das Vektorprodukt zweier Vektoren im Raum und nicht nur auf der komplexen Ebene verallgemeinert interpretiert haben. Zwei Vektoren z = (die, b, c) und w = (A, B, C) im Weltraum ein Drehmoment erzeugen oder eine Vielzahl anderer physikalischer Interpretationen. Überraschenderweise ist die mathematische Operation, die das Produkt liefert, eine und wird durch eine Prozedur zum Kombinieren der Koordinaten der beiden Vektoren durchgeführt. Für die Mathematik hat diese Kombination eine Motivation für die Schönheit der Symmetrie.

Um die Entstehung des Vektorprodukts zu verstehen, müssen Physiker ein Produkt haben, das sich wie folgt verhält, wenn es auf einheitliche Basisvektoren angewendet wird. ich, j und k, die jeweils die drei Raumachsen Achse erzeugen xWelle y und Welle z:

ich ´ j = k, j ´ ich = - k, j ´ k = ich, k ´ j = - ich, ich ´ k = - ich, k ´ ich = j

(Rechtsregel oder Korkenzieherregel)

ich ´ ich = 0, j ´ j = 0, k ´ k = 0.

Diese Vorgaben erfüllen beispielsweise die Berechnungsanforderungen an das Drehmoment. Für den Mathematiker ist es jedoch eine Notwendigkeit, die Neugier zu befriedigen, um zu sehen, was passiert, wenn die Multiplikation in Bezug auf die Addition verteilt ist. Wenn wir dann die Wünsche von Physikern und Mathematikern vereinen, erhalten wir das Vektorprodukt. So erhalten Sie das Vektorprodukt von z = (die, b, c) und w = (A, B, C) mathematisch wie folgt vorgehen:

z ´ w =

(diei + bj + ck) ´ (Ai + Bj + Ck) = dieich ´ Ai + dieich ´Bj + dieich ´ Ck + bj ´ Ai + bj ´ Bj + bj ´ Ck + ck ´ Ai + ck ´ Bj + ck ´ Ck = aa ich´i + ab ich´j + BC ich´k + BA j´i + bB j´j + bC j´ k + ca k´i + cb k´j + cc k´k = ab ich´j + BA j´i + BC ich´k + ca k´i + bC j´k + cb k´j = ab ich´j BA ich´j + BC ich´k cA ich´k + bC j´k cB j´k = (ab BA) ich´j + (BC cA) ich´k + (bC cB) j´k = (ab BA) k + (BC cA) (─ j) + (bC cB) i = (bC cB) ich ─ (BC cA) j + (ab BA) k.

Schauen wir uns die "antisymmetrische" Kombination der Koordinaten an. Im Koeffizienten von ich die Koeffizienten von j und von k antisymmetrisch in der Form kombiniert bC cB. In ähnlicher Weise werden die beiden anderen Koeffizienten durch dieselbe antisymmetrische Philosophie erhalten. Es gibt ein Minuszeichen beim Ermitteln des Koeffizienten von j Das scheint ein bisschen mysteriös. Der Grund für dieses Signal ist die Notwendigkeit, den Wunsch von Physikern und Mathematikern zu befriedigen, wie wir bereits bemerkt haben, aber es schien sehr seltsam, bis Mathematiker entdeckten, dass es natürlich in höheren Dimensionen existiert.

Durch die Untersuchung der Determinanten von Matrizen einer Größenordnung größer als zwei wurde beobachtet, dass es möglich ist, eine natürlich symmetrische Theorie zu entwickeln, die in Dimension drei mit diesem Minuszeichen in dieser Position auf diese Weise erscheint. Die Symmetrie der Determinantentheorie liegt genau in der antisymmetrischen Kombination bC cB, BC cA und ab BA der Koordinaten der beiden Vektoren. Der Begriff ─ (BC cA) erklärt sich natürlich aus der Struktur der Determinantentheorie in Dimensionen größer als zwei.

Wir fragen uns, wie man erklären kann, dass die Wünsche der Physiker nicht mit den Wünschen der Mathematiker in Konflikt stehen. Im Gegenteil, die Vereinigung der beiden Arten von Wünschen scheint eine starke Kraft darin zu haben, das Verhalten der Natur zu entwirren. Wie weit kann Homo sapiens sapiens durch diese Ehe gehen?

Um diese Geschichte etwas besser zu verstehen, schauen wir uns die geometrische Bedeutung genauer an, da wir hier keine physikalischen Experimente mit dem Vektorprodukt durchführen können. Das wollten die Physiker ich ´ j = kerkannte aber, dass der Produktvektor k hat die Länge der Fläche des Rechtecks ​​aus ich und j. Überraschenderweise ist dieses Muster verallgemeinert, das heißt, das Vektorprodukt z ´ w = (bC cB) ich ─ (BC cA) j + (ab BA) k ist ein Vektor, dessen Länge die Fläche des Parallelogramms ist, das durch z und w im Weltraum. Dies ist eine bemerkenswerte Tatsache: Ein Bereich, der eine zweidimensionale Figur misst, erscheint in der dritten Dimension wieder, indem eine Länge gemessen wird. Es ist, als würde sich die Natur mit den gleichen Maßen wie in den unteren Dimensionen in neuen Dimensionen reproduzieren. Mit anderen Worten der Produktvektor z ´ w misst die Fläche, die von Ihren Faktoren gebildet wird z und w. Darüber hinaus ist das Produkt orientiert, dh es ist ein Vektor, der auf eine wohldefinierte Richtung zeigt, die mithilfe einer Rotationsregel zwischen zwei möglichen Richtungen ausgewählt wird. Wenn wir rechnen w ´ z Die Rotation ist jetzt umgekehrt w zu zUnd wir bekommen w ´ z = (cB bC) ich ─ (cABC) j + (BAab) k. Das sehen wir also w ´ z = ─ (z ´ w) wobei wir sagen, dass das Vektorprodukt antikommutativ ist.

Das Gebiet |z ´ w | = |z|.|w| sen die = |(bC cB) ich ─ (BC cA) j + (ab BA) k| des Parallelogramms gebildet durch z und w hat wichtige physikalische Interpretationen. Wir schließen daraus, während das Produkt skaliert z . w = |z|.|w| cos die = aa + bB + cC von zwei Vektoren z = (die, b, c) und w = (A, B, C) misst einen Energietyp (z. B. Arbeit einer Kraft), das Vektorprodukt misst auch einen anderen Energietyp, z. B. Drehmoment, Energie, die eine Drehung erzeugt. Daher kann ein Vektor ein Naturphänomen darstellen, und Operationen zwischen Vektoren repräsentieren weiterhin Naturphänomene.

Es ist daher unvermeidlich zu fragen: Welche anderen Operationen zwischen Vektoren repräsentieren die Phänomene der Natur?

Welche Vektoralgebren können das Verhalten der Natur enträtseln?

Wie weit kann Homo sapiens sapiens bei dieser Untersuchung der Natur gehen?

In der nächsten Spalte werden wir uns ansehen, wie Ingenieure die übliche Multiplikation von imaginären Zahlen ausnutzen.

zw = |z| undichwas |w| undichf = |z| |w| undich(was + f) = (die + bich) (A + Bich) = (aa - bB) + (ab + BA) ich

beim Studium von Stromkreisen.

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Video: K5 Symmetrie und Antisymmetrie von Relationen (Kann 2021).