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Symmetrie in der Mathematik V


Aus der Physik lernen wir, dass die "Plancklänge" die kleinste von der Natur erzeugte Menge sein kann. Physiker verwenden häufig die "wissenschaftliche Notation", um "Größenordnungen" darzustellen. Also lautet Plancks Länge 10-35 meter. Denken Sie daran, dass der Durchmesser eines Atoms zu Vergleichszwecken von 10 abweichen kann-15 Meter bis 10-10 meter. Daher ist die Größenordnung der Planckschen Länge zwanzigmal kleiner als der Durchmesser eines Atoms: 10-35 = 10-15 ' 10-20.

Der Schlüssel zum Verständnis der Symmetrie zwischen unendlich groß und die unendlich klein Es ist genau die Gewohnheit der Physiker, beides durch wissenschaftliche Notation darzustellen. Sagen Sie für jede sehr große Zahl 1035Wir stimmen mit einer sehr kleinen Zahl überein, in diesem Fall mit der Zahl 10-35. Beachten Sie, dass das Produkt dieser beiden Zahlen 1 ist, weil 10-35 ist im Positionssystem 0, gefolgt von einem Komma und 34 Nullen, gefolgt von 1, während 1035 ist 1 gefolgt von 35 Nullen vor dem Komma. Wenn wir uns gegenseitig multiplizieren, steht jede Null vor dem Komma von 1035 Bewirkt, dass sich das Komma des anderen um ein Feld nach rechts bewegt. Am Ende werden wir also 10 bekommen-35 ' 1035 = 1! Beachten wir, dass der Account, den wir gemacht haben, so aussah, als ob wir einfach 10 machen würden-35+35 = 100 = 1. Wenn Sie in Worten das Komma um 35 Stellen nach links und dann um 35 Stellen nach rechts verschieben, bleibt die 1 unverändert.

Das Komma ist die Wasserscheide zwischen dem Großen und dem Kleinen. Wir können immer kleinere Zahlen erzeugen, indem wir nach dem Komma so viele Nullen einfügen, wie wir möchten, gefolgt von einer beliebigen Zahl. Zum Beispiel 0,000000000000000000000007. Ebenso und symmetrisch können wir eine zunehmende Zahl erhalten, indem wir eine Zahl schreiben, auf die beliebig viele Nullen folgen. Zum Beispiel 70.000.000.000.000.000.000.000. Beachten Sie, dass es viel einfacher ist, große Zahlen im Dezimalstellensystem darzustellen, als Namen für sie zu finden.

In der Physik können wir Plancks Länge nicht auf noch kleinere Größen hochrechnen, aber in der Mathematik sind unserer Vorstellungskraft keine Grenzen gesetzt. Ebenso wie es keine Größe gibt, die kleiner als Plancks Länge ist, ist es auch nicht bekannt, ob es mehr als 10 gibt100 Atome in unserem beobachtbaren Universum. In unserer Vorstellung ist es in Ordnung, Zahlen wie 10 zu fassen1000 und 10-1000. Was mehr ist, ist das Produkt dieser beiden gleich 1! Das ist der interessante Teil. Es gibt eine multiplikative Struktur Es ist bemerkenswert, dass wir jetzt genauer hinschauen.

Jede Nummer des Formulars 10N entspricht einem anderen der Form 10-N und das Produkt voneinander ist 1. Wir können dann fragen: Gibt es für jede große Zahl auch eine kleine Zahl, so dass das Produkt der beiden immer 1 ist? Wenn wir dies für jede positive Zahl annehmen, haben wir die folgenden Informationen zu den positiven Zahlen:

(a) jede positive Zahl lässt eine andere zu, so dass das Produkt von beiden 1 ist;

(b) durch Multiplikation von drei positiven Zahlen können wir dies in beliebiger Reihenfolge tun;

(c) 1 ist multiplikationsneutral.

Eigenschaft (a) ist das Ergebnis unseres Wunsches, dass sich diese interessante Symmetrie zwischen groß und klein auf alle positiven Zahlen erstreckt. Eigenschaft (b) ist das Ergebnis unseres Wunsches, unser bereits vorhandenes Wissen über Multiplikation nicht zu verderben, unabhängig davon, in welcher Reihenfolge wir drei Zahlen multiplizieren. Schließlich ist Eigenschaft (c) eine sehr nützliche und wichtige Beobachtung. Es sagt uns, dass 1 ein neutrales Element bei der Zahlenmultiplikation ist.

Es stellt sich aber sofort die Frage: Warum wählen wir genau diese drei Eigenschaften aus? Da drei die minimale Anzahl von Eigenschaften ist, müssen wir eine Symmetrie beschreiben. Zahlen, die diese drei Eigenschaften erfüllen, bilden eine symmetrische Struktur namens Gruppe. Diese als Gruppe bezeichnete symmetrische Struktur ist in der Physik weit verbreitet, um Symmetrien der Natur zu messen, und hat in der Mathematik selbst eine enorme Menge neuer Erkenntnisse hervorgebracht.

Die positiven und negativen ganzen Zahlen bilden eine Gruppe, jedoch in Bezug auf die Addition. Das heißt, für ganze Zahlen betrachten wir dieselben drei Eigenschaften wie oben, indem wir die Wortmultiplikation durch Addition ändern, was uns zwingt, auch das neutrale Element zu ändern, das zu Null wird. Wir sagen, dass die Symmetrie der ganzen Zahlen additiv ist, während die Symmetrie der großen und kleinen positiven Zahlen multiplikativ ist. Für die ganzen Zahlen schreiben wir:

(a) jede ganze Zahl lässt eine andere zu, so dass die Summe der beiden 0 ist;

(d) durch Addition von drei ganzen Zahlen können wir dies in beliebiger Reihenfolge tun;

(e) 0 ist zusätzlich neutral.

Man kann sich jetzt fragen: Warum gehen uns die Negative in der Symmetrie zwischen Groß und Klein aus? Diese Frage ist momentan interessant und notwendig. Die Antwort ist, dass es eine nahezu perfekte symmetrische Kopie der multiplikativen Gruppe von großen und kleinen Positiven gibt, wenn wir die positiven negativen Vorzeichen auf der linken Seite von 0 auf einer numerischen Linie platzieren. Bei jedem großen oder kleinen Positiv liegt die Symmetrie zu 0 im gleichen Abstand von Null. Beispielsweise haben 1.000 und 0,001 symmetrische -1.000 und -0.001. Wir sagten fast perfektes symmetrisches Kopieren, weil wir durch Multiplizieren von Negativen ein Positiv erhalten, das von der negativen Seite der Zahlenlinie abfällt. Wir können jedoch für jedes Negativ, das sehr weit von Null entfernt ist, ein negatives "symmetrisches" sehr nahe an Null "sehen". Zum Beispiel -1,000,000 und - 0,000001.

Das endgültige Foto der Symmetrie zwischen großen und kleinen Zahlen kann dann wie folgt beschrieben werden: In der numerischen Linie auf der rechten Seite von 0 liegen die großen und kleinen Positiven, die eine multiplikative Gruppe bilden. Für jede große positive Zahl, dh rechts von Null, gibt es links ein Negativ, das ziemlich weit von Null entfernt ist. Für jede sehr kleine positive Zahl, das heißt sehr nahe bei Null, gibt es ein Negativ, das sehr nahe bei 0 liegt, aber links. Ferne oder nahe Null-Negative bilden keine Gruppe. Negative und Positive bilden immer noch eine multiplikative Gruppe, da die drei Gruppeneigenschaften immer noch erfüllt sind.

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Video: Symmetrie, Funktionen, rechnerischer Ablauf, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie. Mathe by Daniel Jung (Januar 2021).