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Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen VII


In jedem Fall ist es faszinierend und zugleich faszinierend, dass die Existenz von teilenden reellen Algebren behindert wird. Unsere Frage in der Zukunft wird sein: Was ist die Fähigkeit von Oktonionen, die grundlegenden Muster des Universums zu beschreiben? Es ist noch ein langer Weg, aber wir hoffen, dass die Müdigkeit durch die Landschaft gut kompensiert wird.

Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen VI

Es ist unmöglich, auf unserem Weg, die Muster der Natur durch Oktonionen zu beschreiben, nicht an der Maxwell Station anzuhalten.

Ein Vektorfeld F Es ist eine Menge von Punkten im Raum, an denen an jedem Punkt ein Vektor wirkt. Zum Beispiel gibt es an jedem Punkt in der Nähe der Erde den Vektor Gravitationskraft Schauspiel. Das bedeutet, wenn man sich an diesem Punkt befindet, wird die Gravitationskraft auf ihn einwirken und er wird auf die Erde fallen, wenn ihn nichts zurückhalten kann. Der Mond zum Beispiel fällt, wird aber aufgrund seiner Geschwindigkeit in eine kreisförmige Bewegung um die Erde getrieben. Ein weiteres Beispiel ist das Magnetfeld in der Nähe eines Magneten. Oder denken wir daran, dass ein elektrischer Strom ein Magnetfeld um seinen Weg erzeugt. Eine elektrische Ladung erzeugt ein radiales elektrisches Feld, das dem Gravitationsfeld der Erde entspricht.

Michael Faraday (englisch, 1791 - 1867) entdeckte die elektromagnetische Induktion. Die Konstitution der Materie war ein Rätsel und die Beziehung zwischen Licht und Elektromagnetismus war nicht zu ahnen.

James Clerk Maxwell (schottisch, 1831 - 1879) veröffentlichte sein berühmtes Abhandlung über Elektrizität und ElektromagnetismusMaxwell vertiefte sich in Faradays elektrische Forschung und machte sich daran, eine mathematische Theorie von Elektrizität und Magnetismus zu formulieren. Maxwells mathematischer Ansatz war so brillant, dass er das theoretisch entdecken konnte elektromagnetische Wellen. Er führte den Begriff der Rotationsfäule ein F eines Vektorfeldes F.

Gottfried Wilhelm Leibniz (deutsch, 1646 - 1716), einer der Entdecker der Differential- und Integralrechnung, sah die Herleitung als „Operator D das wirkt auf Funktionen “.

Nur zweihundert Jahre später entdeckte der brillante englische Ingenieur Heaviside, dass diese Idee tiefgreifende praktische Konsequenzen für das menschliche Leben hatte, indem er wichtige elektrotechnische Probleme löste, die eine Behandlung mit den damals bekannten herkömmlichen Berechnungsmethoden nicht erlaubten.

Oliver Heaviside (englisch, 1850 - 1925) war der erste, der den Ableitungsoperator umfassend und effektiv einsetzte. D in deinem berühmten Betriebsberechnung. Nur Heaviside studierte Maxwells Abhandlung über Elektromagnetismus und vereinfachte Maxwells zwanzig Gleichungen in vier.

Maxwell, der sich mit Mathematik und Physik auskennt, enthüllte eine bemerkenswerte mathematische Antisymmetrie in der Natur. Wahrscheinlich war seine mathematische Fähigkeit der Hauptfaktor, der ihm diese geniale Entdeckung ermöglichte. Insbesondere verwendete Maxwell seine eigenen Ideen der Vektoranalyse, um seine Vorstellungskraft über das elektrische Feld zu entwickeln. E und das Magnetfeld H.

Maxwell akzeptierte, dass man nicht ohne das andere lebt, sondern überraschenderweise einer einfachen mathematischen Beziehung und einer perfekten Antisymmetrie folgt. Beide können im Laufe der Zeit variieren, aber es kann überhaupt nicht variieren. Sie können nur bedingt voneinander abweichen. Mit anderen Worten, die Geschwindigkeit eines jeden ist eng mit dem anderen verbunden.

Überraschung ist die mathematische Form, die sie im Laufe der Zeit in Beziehung setzt. Also wenn das elektrische Feld E variiert, deine Geschwindigkeit ¶Et - oder seine Rate der augenblicklichen zeitlichen Variation - ist nicht doppelt, nicht halb, nicht einmal ein Bruchteil oder sogar ein Vielfaches des anderen.

Maxwell entzifferte das Rätsel mit dem Begriff der Rotation eines Vektorfeldes. Die Geschwindigkeit des einen ist ein Vielfaches der Rotation des anderen. Also, ¶Et ist ein Vielfaches von Rotationsfäule H des Magnetfeldes H. Und erstaunlicherweise ist der von der Natur geforderte Faktor nicht mehr und nicht weniger als die Geschwindigkeit. c vom Licht! Dh

Et = c verrotten H.

Wir werden uns im Moment keine Gedanken darüber machen, wie die Rotationsformel geschrieben wird, da wir nur ihre Rechtwinkligkeit zum Vektor kennen müssen H.

Stellen Sie sich den Vektor vor H als eine Kraft, die den Umfang umkreist C einer kleinen Scheibe S. Das heißt, an jedem Punkt von C habe einen Vektor H das Magnetfeld darstellt. Eine sehr nützliche Visualisierung ist die eines Pfeils, der aus dem Anwendungspunkt des Vektors kommt. Wie der Punkt über den Umfang gleitet C Dieser Pfeil ändert sich, aber ohne plötzliche Änderungen. In der mathematischen Sprache ändert es sich kontinuierlich. Wenn wir den Pfeil projizieren H über die Tangente nach C zu jedem Zeitpunkt der Anwendung von Hdann haben wir die tangentiale Komponente von H wer arbeitet auf dem weg C.

Die Arbeit t durch diese tangentiale Kraft erreicht die C es heißt Auflage von H in C. Wenn wir diese Arbeit teilent durch den Bereich der kleinen Scheibe Sdann haben wir die Umlaufdichte pro m2.

Tatsächlich nehmen wir an, dass der Radius der Scheibe gegen Null tendiert, und daher erhalten wir an der Grenze einen Betrag, der als senkrechte Projektion von rot bezeichnet wird. H. Die senkrechte Projektion des Fäulnisvektors H wird auf die Mitte der Discs aufgetragen S und ist daher senkrecht zu den Vektoren H die um ihren Umfang herum zirkulieren, und ihre Größe oder Intensität ist die Zirkulationsdichte von H. Um herauszufinden, ob die senkrechte Komponente des Fäulnisvektors H zeigt auf "hoch" oder "runter" der Disc, denke an die Regel der rechten Hand, das heißt, denke daran H habe die Richtung der vier Finger deiner rechten Hand und die verrotten H Es ist der Daumen senkrecht zu ihnen.

Wenn H kreisförmig an der Grenzlinie C einer Oberfläche S im Raum, wie einer halben Kugel, also wie einer halben Orangenschale, dann die Arbeit, die die Kraft leistet Cist genau der Fäulnisfluss H durch S. Die senkrechte Komponente des Fäulnispfeils H Stechen Sie in die kleinen Scheiben S senkrecht eine Strömung bilden.

Einmal verstanden, der Begriff der Fäule HWir können uns eine Oberfläche vorstellen S Vektoren haben H umkreist deine Grenze C und die senkrechten Projektionen zu S der Fäulnisvektoren H Die Menge dieses Flusses ist genau die Menge der Arbeit, die durch die Zirkulation von gegeben ist H in C. Dies ist es, was den berühmten Satz von Stokes garantiert. Die senkrechte Projektion auf S Vektor verrotten H An einem bestimmten Punkt ist nur die Dichte der Zirkulation pro m2 von H um diesen Punkt herum.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor S als Querschnitt eines zylindrischen Drahtes und C als Umfang von S. In diesem Fall H zirkuliert in der Zylinderwand, während ein elektrischer Strom mit genau der gleichen Drehrichtung durch den Draht fließt. H. Das heißt, die tangentiale Komponente des Pfeils H rutscht vorbei C immer tangential dazu und zum rot pfeil H ist parallel zum elektrischen Stromvektor ich.

Maxwell stellte sich vor, dass, wenn sich das Magnetfeld im Laufe der Zeit ändert, seine momentane zeitliche Variationsrate mit dem elektrischen Feld zusammenhängt und sich überraschenderweise antisymmetrisch verhält, etwa in Bezug auf das, was mit der Rate passiert ist. der augenblicklichen zeitlichen Veränderung des elektrischen Feldes E.

Dh

Ht = - c verrotten E,

Formel als Faradaysches Gesetz bekannt, während:

Et = c verrotten H,

Formel als Ampere-Gesetz bekannt. Diese Namen sind den experimentellen Entdeckungen der großen Wissenschaftler Faraday und Ampère in ihren Labors zu verdanken. Die obigen mathematischen Formulierungen stammen jedoch von Maxwell und wurden vom englischen Ingenieur Heaviside vereinfacht.

Könnte man sich mehr Einfachheit und Schönheit vorstellen? Wer möchte, dass Sie Ihren Vorschlag einreichen?

Noch auffälliger ist die Tatsache, dass sich die Natur gemäß den mit diesen Vektoren möglichen algebraischen Operationen verhält.

Die momentane Änderungsrate der elektrischen Flussdichte ist gegeben durch die Divergenz von E. Ohne die Div-Formel buchstabieren zu müssen EWir erinnern uns, dass eine solche Operation die folgende Eigenschaft hat:

div rot F = 0

für jedes Vektorfeld F das lässt zumindest die zweite Ableitung zu. Das können wir hier intuitiv sagen F hat "Beschleunigung", wie von "in der Natur vorhandenen Dingen" erwartet. Wir haben also:

div (¶Et) = c div (rot H) = 0.

Beachten Sie die Vektoralgebra, die hier arbeitet, dh die sich ändernde Position mit der Konstanten c. Darüber hinaus verschiebt div auch Positionen mit der Ableitung, dh wir können zuerst das Div von berechnen E und dann die Geschwindigkeit ¶_ / ¶t. Also der Teil der Geschwindigkeit ¶Et ist dasselbe wie Geschwindigkeit ¶_ / ¶t von div E:

¶ (div E)/¶t = div (¶Et) = c div (rot H) = 0.

Daher schließen wir aus Maxwells Gleichungen, dass ¶ (div E)/¶t = 0. Dies bedeutet, dass die

Geschwindigkeit ¶_ / ¶t von div E ist Null, das heißt, die div E Es ändert sich nicht im Laufe der Zeit und ist daher ins Stocken geraten. Wer gestoppt wird, kann immer nur den gleichen Wert oder einen konstanten Wert haben. Das heißt div E = K = konstant

Wenn ein elektrisches Feld zu irgendeinem Zeitpunkt null Divergenzen aufweist, ist das, wenn div E = 0 für einen bestimmten Moment tDanach ist es immer Null, da es gemäß der letzten obigen Gleichung konstant sein muss.

Um Maxwell Station weiterhin zu schätzen, müssen wir auf einen kleinen Teil der Arbeit eines der drei größten Genies der Mathematik zurückgreifen: Carl F. Gauss. Dies werden wir in der nächsten Spalte tun.

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Video: K5 Symmetrie und Antisymmetrie von Relationen (Kann 2021).