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Symmetrie in der Mathematik II


Es ist interessant, sich die Punkte auf der euklidischen Linie (die Geometrielinie, die Sie in der Grundschule kannten) als Zahlen vorzustellen. Diese Erfindung war verantwortlich für eine große Revolution in der Mathematik des 17. Jahrhunderts. Es ist die berühmte kartesische Koordinatenidee. Damit können wir uns geometrische Probleme mit Zahlen und damit Algebra vorstellen. Die Punkte der euklidischen Linie werden aus dieser Sicht zu Elementen einer algebraischen Struktur: Es ist die sehr wichtige Struktur reeller Zahlen. Tatsächlich können wir die Punkte der euklidischen Linie beispielsweise als Algebra- oder als Körperstruktur untersuchen (in diesem Artikel wird die Definition von Körper nicht benötigt). In der vorherigen Spalte haben wir das Problem angesprochen, ob es „Löcher“ zwischen zwei reellen Zahlen geben würde oder ob es äquivalent dazu „leere Räume“ zwischen zwei Punkten der euklidischen Linie geben würde. Jeder ernsthafte Mathematikstudent ist mit diesem Problem konfrontiert, wenn er natürlich mit guten Büchern über mathematische Analyse in Kontakt steht. Gute Bücher ordnen wichtige Ideen und behandeln deren Klärung und logische Begründung kompetent. Hier werden wir weiterhin einige dieser Ideen aus einer intuitiven und informellen Perspektive herausstellen.
Das Bedürfnis des Menschen, Symmetrie in Ideen und Konzepten zu "sehen", führt zu dem Versuch, die möglichen Lücken "auszufüllen", die zwischen zwei reellen Zahlen bestehen können, beispielsweise "im Schrecken des Vakuums". Mathematiker des späten 19. Jahrhunderts wie Dedekind fanden eine Rechtfertigung für das Fehlen von Leerstellen zwischen zwei reellen Zahlen. Stellen wir uns nun die euklidische Linie als die reelle numerische Linie vor.
Wenn die Punkte auch Zahlen sind, ist es unvermeidlich zu fragen, welche algebraischen Beziehungen diese Zahlen erfüllen. Wie wir bereits bemerkt haben, sah sich Pythagoras beispielsweise mit einer Lösung der Gleichung x2 - 2 = 0 konfrontiert, der Quadratwurzel von 2, und entdeckte das Problem, wie man diesen Punkt auf der euklidischen Linie "unterbringt", wenn auch nicht aus Descartes 'Perspektive. eintausend Jahre später, der eindeutig "annahm", dass jeder Punkt einer einzelnen Zahl und jede Zahl einem einzelnen Punkt der euklidischen Linie entsprach. Pythagoras hätte zum Beispiel nicht die linke Seite der Linie, weil er die negativen Zahlen nicht kannte. Aber Pythagoras fand auf der euklidischen Linie keinen Punkt, der das Hypotenusenmaß eines rechtwinkligen Dreiecks darstellt, dessen Kragen 1 messen. Algebraisch gesehen war das Problem, welcher Zahlentyp die Gleichung x2 - 2 = 0 lösen würde Durch die von Dedekind erhaltene numerische Gerade können wir dann natürlich fragen, welche Gleichungen durch diese Vervollständigung gelöst werden und welche nicht. Wir erinnern uns sofort an die Gleichung x2 + 1 = 0. Es gibt keine Möglichkeit, einen Punkt auf der euklidischen Linie für die Lösungen dieser Gleichung zu finden. Und was sind Ihre Lösungen, wenn Sie von Ihren Lösungen sprechen?
Wiederholt sich die Geschichte, wenn auch spiralförmig, und jetzt befinden wir uns auf einer Ebene über der, die uns veranlasst hat, die verborgene Symmetrie zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen zu entdecken. Die verborgene Symmetrie, die uns jetzt dazu motiviert, erneut nach ihrer Identität zu suchen, kann durch die Frage gerechtfertigt werden: Warum sollte es nicht auch "Zahlen" geben, die die Gleichung x2 + 1 = 0 lösen? Aus Gründen der "Symmetrie" muss es einen "geometrischen Raum" sowie den Raum der euklidischen Linie geben, der die "Punkte" enthält, die die "numerischen Lösungen" dieser Gleichung sind.
Welche Anhaltspunkte gibt es für uns, um diese verborgene Symmetrie zu verfolgen? Die Idee der Symmetrie ist bereits ein großer Hinweis. Wenn wir an die Existenz eines Punktraums glauben, der symmetrisch das Problem löst, dass alle Polynomgleichungen numerische Lösungen haben, beschreiben wir zunächst, wie dieser Raum aussehen muss. Das heißt, wenn er existiert und wenn er die Eigenschaften hat, die wir "brauchen", um unseren "Wunsch nach Symmetrie" zu befriedigen, können wir dann nicht mehr einige Kandidaten für diese Position in der Welt der Mathematik wählen? Sie haben bereits erkannt, dass wir auf einen offensichtlichen Kandidaten zusteuern: den euklidischen Plan. Wenn die euklidische Linie die Lösungen einiger Polynomgleichungen darstellen könnte, wäre die euklidische Ebene dann nicht die natürliche Fortsetzung dieses Raums und wären ihre Punkte nicht die „Zahlen“, von denen wir eifrig hoffen, alle Polynomgleichungen zu lösen?
Historisch war das nicht einfach. Viele große Mathematiker haben zu verschiedenen Zeiten an dieser Saga teilgenommen, offensichtlich ohne die oben vorgeschlagene Symmetrie im Auge zu haben, so dass wir uns dieses Problem heute auf einfache, einheitliche und harmonische Weise vorstellen können. Wo ist die Quadratwurzel von -1? Es kann nicht auf der euklidischen Linie liegen, weil dort der Raum vollständig ist, keine Punkte mehr. Aus algebraischer Sicht gibt es keine Möglichkeit, eine reelle Zahl zu quadrieren und -1 zu erhalten. Das Bedürfnis, die Welt durch Symmetrien zu sehen, führt uns dazu, einen neuen Raum von Punkten zu schmieden, der den Raum, den wir bereits in der euklidischen Linie erobert haben, nicht „verderbt“. Die euklidische Ebene, Fortsetzung der euklidischen Linie in einer „zweiten Dimension“, ist daher der natürliche Kandidat.
Wenn ja, dann sind wir gezwungen, einige Probleme zu lösen. Wie wird die Hinzufügung dieser neuen Zahlen aussehen? Wie wird ihre Multiplikation sein? Wir nehmen an, dass sie die Möglichkeit der Addition und Multiplikation haben, weil sie eine "Erweiterung" der reellen Zahlen sein müssen. Es ist also natürlich anzunehmen, dass sie sich auch addieren und miteinander multiplizieren. Darüber hinaus müssen diese Operationen die Eigenschaften erfüllen, die reelle Zahlen erfüllen. Wenn wir also zwei Paare reeller Zahlen nehmen, um zwei Punkte der euklidischen Ebene darzustellen, müssen wir daraus schließen, dass ihre Summe und ihr Produkt durch die Regeln gegeben sind, die Sie bereits als Operationen zwischen komplexen Zahlen kennen. Die Frage bleibt, ob dies das Problem löst, dass jede Polynomgleichung eine Lösung hat. Die Antwort auf diese Frage ist das berühmte Algebra-Fundamentalsatz, Gauß Doktorarbeit: "Jedes komplexe Polynom hat eine komplexe Wurzel."
Wir haben nun zwei algebraische Strukturen: die Algebra der reellen Zahlen (geometrisch dargestellt durch die euklidische Linie) und die Algebra der komplexen Zahlen (geometrisch dargestellt durch die euklidische Ebene).
Können Sie nun eine ganz natürliche nächste Frage in dieser logischen Reihenfolge von Ideen stellen: "Ist es nicht so, dass der euklidische dreidimensionale Raum eine noch größere Symmetrie verbergen würde?" Oder anders ausgedrückt: „Ist Euklids dreidimensionaler Raum nicht eine dreidimensionale Algebra, die die Eigenschaften komplexer Zahlen auf 3-Koordinaten-Zahlen erweitert?“
Platzieren Sie Ihre Wetten. Der Pessimist könnte vorhersagen: "Die Antwort ist negativ, weil, wie Gauß gezeigt hat, Polynome bereits mit komplexen Zahlen zufrieden sind und keine weiteren Zahlen benötigt werden, um sie zu lösen." Der Optimist könnte erwidern: „Es ist seltsam, dass diese Symmetrie in Dimension 2 aufhört; in Dimension 3 muss es versteckt sein! “.
Und sie könnten hinzufügen: "Es ist interessant für eine algebraische Struktur, unseren Wunsch zu befriedigen, alle Polynomgleichungen symmetrisch zu lösen, aber wozu dienen all diese Elukubulationen?"

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Video: Symmetrie von Funktionen II (Juli 2020).