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Die geordnete Ebene und die n-dimensionalen Raumpunkte


Wir hinterlassen Ihnen eine Herausforderung: Sich davon zu überzeugen, dass die "Komplementär zu einem Set über dem anderen" Es braucht keine neuen Axiome, um zu existieren. Man betrachte tatsächlich eine Menge A und eine Menge B. Man denke an das Komplement von B in Bezug auf A. Wir schreiben: A - B = {x: x gehört zu A, aber nicht zu B}. Diese Menge ist nichts anderes als die Menge von Mengen, die zu A gehören und eine Eigenschaft P (x) erfüllen.

Nun definiert die Eigenschaft "x ist eine Menge von A, die nicht zu B gehört" eine Menge von Axiom 2. Daher existiert das Komplement von B in Bezug auf A aufgrund der bereits akzeptierten Axiome. Ebenso können Sie davon überzeugt sein, dass die anderen Mengen der Herausforderung auch aufgrund der akzeptierten Axiome existieren.

Mit dem Meeting-Axiom können wir die "Tender" -Sammlung bilden und das Konzept der "Even" -Sammlung verallgemeinern. Für die Mengen A, B und C definieren wir mit Hilfe des Besprechungsaxioms die Menge {A, B, C} als die Menge der Mengen {A}, {B} und {C}. Beachten Sie, dass die Menge {A} aufgrund des Paaraxioms existiert, das besagt, dass {A, A} gesetzt ist. Das heißt, {A, A} = {A} ist eine neue Menge. In ähnlicher Weise existieren auch die Mengen {B} und {C}, und daher können wir nach dem Besprechungsaxiom die Besprechungsmenge {A} È {B} È {C} = {A, B, C} bilden.

Jetzt interessieren wir uns für die ordnungsgemäße Ausschreibung. Bei gegebenen Mengen A, B und C definieren wir das geordnete Paar (A, B) unter Verwendung des Axioms des Paares und definieren nun ein neues "geordnetes Paar", das das "geordnete Zahlungsmittel" ist: ((A, B), C). Beachten Sie das

((A, B), C) = {{{{A}, {A, B}}}, {{{{A}, {A, B}}}, C}}

Können Sie überprüfen, ob die Schlüssel korrekt sind? Beachten Sie, dass es viel einfacher ist, sich das bestellte Zahlungsmittel als ((A, B), C) vorzustellen, obwohl dieses "bestellte Paar" die "komplizierte" Menge oben rechts bedeutet.

Die Mathematik ist voll von solchen Situationen, das heißt Definitionen von "Rekursion". Wir definieren einen nach Rekursion geordneten Ausdruck als "ein bestimmtes geordnetes Paar plus eine dritte Menge". Auf die gleiche Weise können wir ein geordnetes Vierfach, ein geordnetes Fünffach, ..., ein geordnetes "n-Doppel" usw. definieren. Wenn sich ein Physiker eine Größe als Menge vorstellt, kann er sich einen Punkt im Raum leicht als ein "geordnetes n-Doppel" von Größen vorstellen. Zum Beispiel (x, y, z, t), das Vierfache der drei Größen, die den räumlichen Ort eines Teilchens und den Zeitpunkt seines Auftretens angeben. Wir wissen jetzt, dass (x, y, z, t) = ((x, y, z), t) = (((x, y), z), t). Ein Physiker hat dann zur Verfügung "so viele Koordinaten" so viele wie du willst. Die Superstringtheorie betrachtet 11 als eine sehr plausible Zahl für die korrekte Anzahl von Koordinaten in unserem Universum.

Den Geometern steht auch der von Renée Descartes und Pierre de Fermat erfundene nummerierte Punktraum der analytischen Geometrie zur Verfügung.

Wir könnten jetzt den Weg der Geometrie oder den Weg der Physik gehen. Aber wir haben immer noch keine gute Theorie über das Universum der Zahlen. Wir möchten lieber ein wenig Geduld haben und in Ruhe die Grundlagen entdecken, die uns helfen, das Mathegebäude zu heben.

Wir brauchen jetzt das "Kraftpaket". Das heißt, wir brauchen ein neues Axiom, das uns die Existenz von "Teilen einer Menge" garantiert. Es ist eine intuitive Vorstellung der Teile eines Sets. Aber warum können wir "an sie denken"? Genau in Axiom 6 können wir annehmen, dass die Teile einer Menge legitime Mengen für unser Denken sind. In der nächsten Spalte werden wir detailliert auf die Existenz der Teile einer Menge eingehen.

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