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Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen III


Eine neue Nummer, angegeben durch den Buchstaben ich mit der Eigenschaft, dass ich2 = -1. Diese Zahl passt nicht in die euklidische Zeile, in der die reellen Zahlen Platz für andere Zahlen haben. Mathematiker erfüllten den Wunsch, die Vielfachen von geometrisch darzustellen ich Wählen einer euklidischen Ebene mit einer geraden Linie zur Darstellung des Realen und der senkrechten Linie durch Null zur Darstellung des reinen Imaginären. Sie nannten die neue Achse "imaginäre Achse" und die Nummer ich wurde der Generator dieser Achse, so wie real 1 der Generator der realen Achse ist.

Also jede reelle Zahl des Formulars die.1 hat jetzt ein imaginäres Analogon der Form die.ich. Sofort stellt sich die unvermeidliche Frage: In welchem ​​Universum leben reale Zahlen? die und imaginäre Zahlen b.ich wo b ist es echt?

Es ist klar, dass dieses Universum aufgrund der Erfindung der imaginären Achse die euklidische Ebene ist. Das heißt, jeder Punkt in der Ebene repräsentiert eine neue Zahl, die wir als "komplexe Zahl" bezeichnen. Die geometrische Darstellung dieser Zahlen in der euklidischen Ebene kann durch Pfeile erfolgen, die vom Schnittpunkt der ausgewählten Achsen ausgehen und durch Koordinaten (0, 0) oder durch den Ausdruck dargestellt werden können 0 = 0 + 0ich.

Wir haben bereits bemerkt, dass wir alle Körpereigenschaften von reellen Zahlen erhalten wollen. Die nächste unvermeidliche Frage lautet: Haben komplexe Zahlen auch eine algebraische Körperstruktur? Die Antwort ist den Lesern bekannt und positiv. Wir können sagen, dass AC, +, 0, ×, 1, distributivañ ist ein Körper mit C = {die + bich: die, b Î R} ist die Menge der komplexen Zahlen. Der erste große Unterschied besteht darin, dass wir die mit den Additions- und Multiplikationsoperationen kompatible Reihenfolge verloren haben. Das heißt, wir können nicht mit der Vorstellung arbeiten, dass "eine komplexe Zahl kleiner als eine andere ist", und zwar auf eine Weise, die mit Addition und Multiplikation vereinbar ist. Denken Sie daran, dass wir für zwei reelle Zahlen die Beziehung haben die < bWas wäre wenn c ist also eine positive reelle Zahl ac < bc. Wenn wir diese Argumentation auf die Zahl anwenden ichwenn es positiv ist, erhalten wir: 0 < ich impliziert 0.ich < ich.ich, dh 0 <-1, was absurd ist. Ebenso wird es nicht funktionieren, wenn man das annimmt ich Es ist negativ. Wie ich Es ist nicht Null, wir sehen, dass die Ordnungsmerkmale von reellen Zahlen nicht auf komplexe Zahlen erweitert werden können.

Es ist ein faszinierender Verlust. Stellt es eine Beschränkung der Naturphänomene dar oder erlaubt es im Gegenteil eine größere Vielfalt ihres Verhaltens? Dies ist die größte und schwierigste Frage, die uns motiviert, diese Notizen zu schreiben.

Wir dürfen nicht vergessen, dass die Erfindung von ich2 = -1 war auch "faszinierend". Tatsächlich ändern wir dieses Adjektiv besser in "Stimulans". Wir waren blockiert von dem Wunsch, die Ordnung der Reelle auf Komplexe auszudehnen, aber andererseits haben wir viel an der Fähigkeit gewonnen, Polynomgleichungen zu lösen. In der Tat nicht nur die Gleichung x2 = -1 hat jetzt Lösungen im Universum der Komplexe sowie jedes Polynom der Form xnein + dien-1xn-1 +… + die1x + die0 = 0, wenn die Koeffizienten reell oder komplex sind, habennein lösungen ”. Der große Mathematiker C. F. Gauss gab uns dieses Wissen konsequent weiter. Wir stehen dann vor einer großen Erweiterung des numerischen Universums. Darin können wir extrahieren nein Wurzeln nein - sehr z = die + bich. Außer natürlich im Fall von 0 das hat nur eine wurzel nein - Das stimmt, er selbst. Alle anderen komplexen Zahlen z haben nein Wurzeln nein - n. symmetrisch verteilt in einem Umfang, auf den zentriert ist 0 Radius gleich der Wurzel nein - mit Abstand von z bis zum 0 angezeigt

von |z|.

Bemerkenswert sind die in der algebraischen Struktur komplexer Zahlen vorhandenen Symmetrien. Wir können sie hier nicht präsentieren, aber wir müssen ihre Vektorstruktur präsentieren. So fügen Sie zwei komplexe Zahlen hinzu: z = die + bich und w = c + dichWir können uns zwei Kräfte vorstellen, die am Punkt (0, 0) angewendet werden, und deren Ergebnis z + w = (die + c) + (b + d)ich. Unser Leser kennt diese Interpretation als "Parallelogrammregel". Diese Interpretation ist eine großartige Anwendung von Vektoren auf die Naturphysik. Es ist daher unvermeidlich zu fragen: Welche anderen Interpretationen physikalischer Phänomene sind mit Vektoren möglich?

Es gibt unzählige Anwendungen komplexer Zahlen auf Naturphänomene. Erstens sind die Anwendungen komplexer Zahlen auf die Geometrie und andere Bereiche der Mathematik fantastisch. Wir können sie hier nicht vorstellen, nicht einmal eine Idee geben. Wir brauchen jedoch die Idee der "Vektormultiplikation". Indem wir auferlegen, dass komplexe Zahlen so viele Eigenschaften wie möglich von reellen Zahlen beibehalten, müssen wir dies zugeben z.w = (die + bich).(c + dich) = (ac - bd) + (ad + bc)ich.

Geometrisch ist es jedoch wichtig, den Effekt der Multiplikation zu "sehen". Mit der Entdeckung des großen Mathematikers Leonhard Euler z = |z| undichwas und w = |w| undichfwo und ist Eulers Nummer und was und f stellen die Winkel zwischen den Vektoren dar z und w mit der realen Achse genannt "Argumente" von komplexen Zahlen. Also wenn z = die + bichdann |z| = (die2 + b2)1/2, nach dem Satz von Pythagoras, |z| cos was = die, |z| sen was = bund Eulers Entdeckung ist geschrieben als undichwas = cos was + ich sen was .

In der Euler-Formel gibt es eine implizite Vorstellung von komplexen Potenzen, die wir hier nicht diskutieren können, aber denken Sie daran, dass die Regel der Multiplikation von Potenzen derselben Basis beibehalten wird, indem Sie die Basis halten und die Exponenten addieren. Nach dieser Regel können wir schreiben z.w = |z| undichwas . |w| undichf = |z|.|w| undich(was +f). Dieses Ergebnis zeigt deutlich, dass bei der Multiplikation von Komplexen deren Abstände zum Ursprung multipliziert und deren Argumente summiert werden. Diese geometrische Interpretation der komplexen Multiplikation ist von großer Bedeutung und gilt für die Untersuchung von Naturphänomenen.

Da wir an den grundlegendsten Anwendungen der Naturphänomene interessiert sind, möchten wir die Möglichkeit erwähnen, komplexe Ebenenvektoren auf zwei andere Arten zu multiplizieren. Die erste besteht darin, die von der Truppe geleistete Arbeit darzustellen z = die + bich vorausgesetzt, sie verdrängt einen Körper von A bis zum B. Die Punkte A und B kann auch durch komplexe Zahlen dargestellt werden und so können wir schreiben B - A = w = c + dich. Die physikalische Theorie sagt uns, dass nur die Komponente von z in Richtung w erzeugt den Offset w. Es ist ein Glück, eine einfache algebraische Formel für die Berechnung der in dieser Schicht geleisteten Arbeit zu haben. Es heißt das Skalarprodukt: z · w = (die + bich) · (c + dich) = ac + bd! Die Einfachheit dieser Formel ist umso beeindruckender, als wir uns daran erinnern, dass Physiker die Arbeit mit Gewalt definiert haben. z mit Verschiebung w durch die Formel z · w = |z|.|w| cosawo die ist der Winkel der Kraft z verursacht die Verschiebung w. Das liegt daranz|.cosa ist die Kraftintensität, die den Körper bei der Intensitätsverschiebung bewegtw|.

Das können wir zeigen z · w = |z|.|w| cos die = ac + bd! Es ist eine großartige Formel, die uns sofort zu der Frage führt: Welche anderen einfachen und interessanten Formeln existieren, bei denen Vektoren multipliziert werden, um die Phänomene der Natur zu messen? Überraschenderweise stellen wir fest, dass es noch eine weitere zulässige Multiplikation für komplexe Ebenenvektoren von wichtiger physikalischer Bedeutung gibt. Die Vektoren z = die + bich und w = c + dich kann geometrisch so interpretiert werden, dass Seiten eines Parallelogramms mit Längen | erzeugt werdenz| und |w| Es ist nicht überraschend für den Leser, welcher Bereich des Parallelogramms = |z|.|w| sen die. Was uns hier interessiert, ist die außergewöhnliche Formel „Parallelogrammfläche = |z ´ w |”Wo z ´ w Es ist das sogenannte Vektorprodukt, das auch von unserem Leser bekannt ist.

Dieses Produkt misst beispielsweise das Drehmoment, das durch die Kraft erzeugt wird w an einer Stelle angebracht, die den Hebelarm bestimmt z. Was wir genauer untersuchen wollen, ist die Tatsache, dass physikalische Größen wie das Drehmoment einfach durch eine Vektormultiplikation dargestellt werden, die eine der Möglichkeiten der Vektormultiplikation darstellt. Es ist unvermeidlich zu fragen: Gibt es noch andere mögliche Multiplikationen für Vektoren von relevanter physikalischer Bedeutung?

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Video: K5 Symmetrie und Antisymmetrie von Relationen (Kann 2021).