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Symmetrie in der Mathematik


Unsere Leser können mit uns darüber nachdenken, wie die natürlichen Zahlen {0, 1, 2, 3,…} im natürlichen Zählproblem entstehen, wie natürlich wir fortfahren können, ihre Eigenschaften zu untersuchen und wie natürlich uns diese Untersuchung zu neuen symbolischen Welten führt. .

Ein Weg für die weitere Untersuchung der Eigenschaften von Zahlen ist der Pfad von Gleichungen. Wir fragen: Welche Zahl hat zu 1 Ergebnissen in 3 beigetragen? Die Antwort ist sehr einfach:

wenn x + 1 = 3, dann ist x = 2.

Aber das Szenario ändert sich sehr, wenn wir fragen:

Was ist die Zahl, die zu 1 addiert wird und zu 0 führt?

Wir haben jetzt die Gleichung:

x + 1 = 0.

Dem Leser ist klar, dass es in der Welt der natürlichen Zahlen nicht möglich ist, eine Lösung für diese Gleichung zu finden. Hier kommt die Symmetrie: warum es keine Lösung für diese Gleichung geben würde, warum das Privileg bestimmter Zahlen nein bei der Herstellung der Gleichung

x + 1 = n

Lösung haben?

Die obige Gleichung wäre in Bezug auf bestimmte Werte von asymmetrisch neinwenn es nicht gelöst werden konnte. So entstehen negative ganze Zahlen. Sie sind die verborgene Symmetrie der obigen Gleichung. Darüber hinaus lösen sie auch das Problem des Mangels an Symmetrie, das wir in der Welt der natürlichen Zahlen bemerken, wenn wir sehen, dass diese Welt einen Anfang (0) und kein Ende hat, dh es gibt keine größte natürliche Zahl. Mit negativen Zahlen wird die Welt der Zahlen zu einer symmetrischen Welt, weil auch diese neue Welt keinen Anfang hat:

{… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… }

Alle Gleichungen vom Typ x + m = n Habe jetzt eine Lösung. Nicht mehr das Privileg bestimmter Zahlen gegenüber anderen, dass die obige Gleichung eine Lösung für sie und nicht für andere hat.

Der Leser hat unvermeidlich die Frage: Aber wie kann diese Symmetrie von positiven und negativen ganzen Zahlen in der Welt des praktischen Lebens nützlich sein?

Nun, der Leser muss sich dann fragen, ob es im praktischen Leben wichtige Phänomene oder Situationen gibt, in denen sich gegensätzliche Objekte befinden, die als positiv und negativ angesehen werden können. In diesem Fall ist zu fragen, ob die Addition und Multiplikation von relativen Ganzzahlen auch für solche Objekte sinnvoll ist.

Es wäre eine gute Idee für den Leser, einen Physiker, Chemiker oder Biologen zu befragen, ob es in den Bereichen dieser Forscher Situationen oder Objekte gibt, die für eine quantitative Beschreibung in einer Welt positiver, negativer oder nullter Größen anfällig sind. Enzyklopädien können auch bei der Präsentation von Wissen hilfreich sein, das durch die Anwendung des Konzepts negativer und positiver Größen auf die reale Welt gewonnen wurde.

Wir haben gesehen, dass negative ganze Zahlen {…, -3, -2, -1} das Problem der Asymmetrie natürlicher Zahlen {0, 1, 2, 3,…} lösen, die einen Anfang und kein Ende haben. Durch Addition der negativen Ganzzahlen wird das neue Zahlensystem symmetrisch um Null.

Wie können wir negative Zahlen darstellen? Das heißt, können wir uns eine Zahl vorstellen, die uns eine gute Vorstellung vom Ganzzahlensystem gibt?

Eine dieser Möglichkeiten besteht darin, Ganzzahlen als Punkte auf einer Linie darzustellen. Wir wählen einen Punkt und ordnen ihn der Zahl 0 zu. Dann markieren wir 1 rechts von 0 und halten dabei einen gewissen Abstand ein. In diesem Abstand setzen wir -1 links von 0. Dann 2 rechts von 1, -2 links von -1 und so weiter. Der Punkt -nein ist daher der Punkt links von 0 in einem Abstand, der ist nein mal der Abstand von 0 bis 1.

Der Leser kann die folgende Frage nicht umgehen: Was halten Sie von den Punkten zwischen den Punkten, die zur Darstellung der ganzen Zahlen verwendet werden? Könnte beispielsweise der Punkt zwischen 0 und 1 genau mit einem neuen Zahlentyp übereinstimmen? Der Leser wird sofort sagen: Nun, wäre der Bruch 1/2 nicht die neue Zahl, die die Durchschnittsposition zwischen 0 und 1 einnimmt? Richtig, die Brüche füllen das „Vakuum“ zwischen den gesamten auf einer Linie markierten Punkten.

Wieder finden wir die wissenschaftliche Situation der Notwendigkeit, einen Raum zu füllen oder eine Idee zu erweitern, die auf eine verborgene Symmetrie oder ein unerklärliches Privileg hinzuweisen scheint. Hier könnte man sagen, dass das Privileg, dass nur ganze Zahlen als Punkte auf einer Linie dargestellt werden können, seltsam und unerklärt ist.

Die hier verborgene Symmetrie ist die Idee, dass alle Punkte gleichermaßen Zahlen darstellen sollten, nicht nur die Punkte, die zum Markieren von ganzen Zahlen verwendet werden.

Der Leser fragt sich erneut, ob die Natur Prozesse hat, die in nicht ganzzahligen Mengen beschrieben werden können. Mathematisch ist es natürlich, sich das numerische System aus einer Linie vorzustellen und einen beliebigen Punkt für die Darstellung von Null auszuwählen. Nun, zumindest für uns, dreihundert Jahre nach René Descartes, dem französischen Philosophen und Mathematiker, der die Idee der Zahlendarstellung in eine Linie einführte und die analytische Geometrie schuf, die sich natürlich anhört.

Jede neue Idee, die wir einführen, um ein Problem der verborgenen Symmetrie oder ein anderes mathematisches Problem zu lösen, führt uns natürlich zu anderen unerwarteten Ideen, die Sinn ergeben und deren Entwicklung schließlich neue mathematische Wahrheiten enthüllt.

Die neuen mathematischen Wahrheiten offenbaren uns wiederum Beschreibungen von bisher ungeklärten oder sogar unbekannten Prozessen der Natur.

Wenn wir die Brüche auf einer Linie markieren, bekommen wir den Eindruck, dass alle Punkte auf der Linie besetzt sein könnten. Aber Pythagoras hatte bereits erkannt, dass die Quadratwurzel von 2 keine gebrochene Zahl ist. Wir sollten also auch in der Lage sein, einen Punkt auf der Linie für die Quadratwurzel von 2 zu finden. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wussten die Mathematiker bereits, dass die Zahl pi, die in der Umfangslängenformel 2 pi R vorkommt, ebenfalls nicht gebrochen ist. daher sollte es auch einem Punkt auf der Linie entsprechen.

Die Zahl pi kommt auch in vielen anderen mathematischen Situationen vor. Wir können nicht alle Vorkommen der Zahl pi in der Mathematik und sogar in mathematischen Modellen aufzählen, die Naturphänomene darstellen wollen. Zahlen wie die Quadratwurzel von 2 und die Zahl pi werden als irrationale Zahlen bezeichnet, da sie nicht gebrochen sind, dh aus Gründen zwischen ganzen Zahlen nicht dargestellt werden können. Dann stellt sich natürlich die Frage: Wie viele sind diese irrationalen Zahlen? Gibt es Punkte auf der Linie, die auch diese irrationalen Zahlen darstellen?

Der Mathematiker Georg Cantor entdeckte im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert, dass es viel mehr irrationale Zahlen als gebrochene Zahlen gibt! Die Art und Weise, wie Cantor diese Wahrheit demonstrierte, war eine große Überraschung in der mathematischen Welt. Ein anderes Mal wollen wir zeigen, dass es viel mehr irrationale Zahlen als rationale oder gebrochene Zahlen gibt.

Die Vorstellung der geometrischen Linie als numerische Linie, dh jeder Punkt entspricht einer Bruchzahl (rationalen Zahl) oder einer irrationalen Zahl, war eine große Neuerung in der Mathematik.

Renée Descartes hat sich vor etwa 300 Jahren wahrscheinlich nicht vorgestellt, dass die meisten Punkte auf der geometrischen Linie irrationalen Zahlen entsprechen würden. Es stellt sich aber sofort eine andere Frage: Sind die reellen Zahlen verschwunden? Oder gibt es noch eine Art reelle Zahl, die auch einen Punkt auf der Linie erfordert, um sie aufzunehmen?

Dieses Problem, ob rational und irrational die Punkte der geometrischen Linie erschöpfen, ist das Problem der Vervollständigung. Mathematiker wissen heute, dass die Zahlengerade vollständig ist. Das heißt, es gibt keine Lücken zwischen zwei reellen Zahlen. Aber endet damit das Problem, alle Zahlen zu kennen? Es ist interessant zu bemerken, dass noch nicht! Wenn wir auf der einen Seite die reellen Zahlen bereits als sehen können Kontinuum von Punkten, das heißt einer geraden Linie ohne Löcher, andererseits können wir das Problem des Findens einer Zahl, deren Quadrat plus Eins Null ist, noch nicht lösen.

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Video: Symmetrie, Funktionen, rechnerischer Ablauf, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie. Mathe by Daniel Jung (Kann 2021).