Im Detail

Die fünfte Wahrheit


Wie können wir machen "Intuitionen"Vereinigung, Schnittmenge, Differenz, Komplement und symmetrische Differenz, mathematische Konzepte? Beginnen wir mit der Schnittmenge. Wir definieren die Schnittmenge von A und B als die Menge von Mengen, die gleichzeitig zu A und B gehören. Nach welcher Theorie wir diese Definition geben dürfen, ist, dass die gegebenen Mengen A und B eine nicht leere Menge D bilden, die wir wie folgt schreiben werden: D = {A, B} Nach Axiom 2, dem Axiom der Teilmengen, können wir das sagen es gibt die Menge von x so, dass sie "gleichzeitig zu A und B gehört", weil sich diese Eigenschaft auf die Mengen der nicht leeren Menge D bezieht. Daher sind wir durch Axiom 2 berechtigt, die Existenz der sich überschneidenden Menge von zwei Mengen A und B zu behaupten. In ähnlicher Weise können wir argumentieren, dass es bei einer Menge von Mengen D die Menge von Mengen x gibt, die zu allen Mengen von D gehören. Kurz gesagt, bei zwei Mengen A und B gibt es die Menge

A Ç B = {x: x gehört zu A und x gehört zu B}.

Um die Assemblierung der Mengen A und B zu definieren, können wir nicht auf die gleiche Weise vorgehen. Das heißt, wir können nicht nachweisen, dass es die Assemblierungsmenge von A und B aus den vier Axiomen gibt, die wir bisher haben (Axiome 0, 1, 2 und 3). Wir brauchen ein neues Axiom: Axiom 4, das Reunion Axiom.

Axiom 4

Für jede Menge C gibt es eine Menge U, so dass

Wenn x zu M gehört, für einige M, die zu C gehören, dann gehört x zu U.

Anders ausgedrückt, wenn eine Menge von Mengen C gegeben ist, gibt es die Menge von Mengen, die zu einer Menge von C gehören. Wir können dieses Axiom noch auf andere Weise lesen. Zum Beispiel können wir sagen, dass es die Menge von Mengen gibt, die zu den Mengen von C für jede gegebene Menge C gehören. Zum Beispiel können wir wieder sagen, dass es bei den Mengen A und B die Menge von Mengen gibt, die zu A und B gleichzeitig gehören. In diesem Fall bilden wir zuerst die Menge C = {A, B} und dann die Menge U der Mengen, die zu A oder B gehören. Das heißt, wir schreiben: U = A È B.

Wir haben jetzt fünf Axiome und das jüngste erlaubt es uns, den Montagesatz zu bilden. Mit dem Meeting-Axiom können wir die "Tender" -Sammlung bilden und das Konzept der "Even" -Sammlung verallgemeinern. Für die Mengen A, B und C definieren wir mit Hilfe des Besprechungsaxioms die Menge {A, B, C} als die Menge der Mengen {A}, {B} und {C}. Beachten Sie, dass die Menge {A} aufgrund des Paaraxioms existiert, das besagt, dass {A, A} gesetzt ist. Das heißt, {A, A} = {A} ist eine neue Menge. In ähnlicher Weise existieren auch die Mengen {B} und {C}, und daher können wir nach dem Besprechungsaxiom die Besprechungsmenge {A} È {B} È {C} = {A, B, C} bilden.

Es ist interessant zu bemerken, dass wir ein neues Axiom brauchen, das Meeting-Axiom, um die zwei oder mehr Sätze zusammenzubringen. Wir schlagen vor, dass Sie über die Notwendigkeit dieses neuen Axioms nachdenken. Überlegen Sie, wie man sich die Versammlung vorstellen kann, ohne dass eine neue "Wahrheit" "erfunden" wird, um nicht in Frage gestellt zu werden.

Das Komplement von B zu A ist leicht zu definieren: A - B = {x: x gehört zu A, aber nicht zu B}. Wir können auch sagen, dass AB die Differenz zwischen A und B ist. Schließlich ist die symmetrische Differenz zwischen A und B definiert durch: ADB = (AB) E (BA).

Herausforderung für Sie: Seien Sie überzeugt, dass das Komplementäre, der Unterschied und der symmetrische Unterschied keine neuen Axiome erfordern.

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