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Die sechste Wahrheit


Wir wissen bereits, wie man die Objekte der Welt der Mengen vermehrt. Wenn es eine Menge C gibt, dann gibt es ein Paar {C, C} und daher gibt es die Menge {C} und daher gibt es die Menge {C, {C}} und daher gibt es die Menge… Also schon Wir sind in der Lage, „eine Vielzahl von Mengen“ zu erhalten, indem wir neue Mengen aus nur einer Menge vermehren.

Lassen Sie uns nun neue Mengen "innerhalb" einer gegebenen Menge vermehren. Das heißt, lassen Sie uns neue Mengen aus einer gegebenen Menge "herausholen", aber in ihr. Es ist Axiom 6, das Axiom der Teile einer Menge, mit dem wir die Anzahl der Objekte im mathematischen Universum, die wir bisher haben, erhöhen können.

Es ist eine intuitive Vorstellung der Begriff der Teile einer Menge. Aber warum können wirDenk an sie”? Es ist genau das Axiom 6 Das erlaubt uns anzunehmen, dass die Teile einer Menge legitime Mengen für unser Denken sind.

Axiom 6
Für jede Menge C gibt es eine Menge P (C), so dass, wenn A in C enthalten ist, A zu P (C) gehört.

Was sind zum Beispiel die Teile der Menge C = {0, 1, 2, 3}? Da die leere Menge Æ in jeder Menge enthalten ist, ist sie auch in C enthalten. Daher ist die leere Menge Æ eine Menge, die zu den Teilen von C gehört, dh Æ gehört zur Menge P (C). Nun, was sind all die anderen Mengen, die zu den Teilen von C gehören? Zählen wir zuerst alle auf, die nur eine Menge haben: {0}, {1}, {2}, {3}. Zählen wir nun alle Mengen auf, die zwei Mengen haben: {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Zählen wir nun alle Mengen auf, die drei Mengen haben: {0, 1, 2}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}. Abschließend listen wir alle Mengen auf, die vier Mengen haben: {0, 1, 2, 3}.

Haben Sie bemerkt, dass wir den Begriff "eins", "zwei", "drei", "vier" verwenden, um das Problem zu lösen, alle Teile der Menge C zu finden? Lassen Sie uns vorerst zugeben, dass wir bereits wissen, was diese "Entitäten" sind. Wir werden bald sehen, dass diese Entitäten nichts anderes als natürliche Zahlen sind, dh die ersten Zahlen, die "natürlich" zu Beginn unserer Untersuchung einer Mengenlehre auftauchen. Andererseits konnten Sie unsere „Argumentation“ zum Erhalt der Menge von Teilen von Menge C vollständig verstehen.

Wir haben "16" Teile für die Menge C = {0, 1, 2, 3} erhalten. Wenn unsere Menge C auf {0, 1, 2, 3, 4} gesetzt wäre, würden wir "32" Teile erhalten. Würdest du wissen warum das so ist? Lassen Sie uns diese Herausforderung bis zur nächsten Spalte lösen: Wenn eine Menge n Mengen hat, hat ihre Teilmenge die Kraft 2nein Das heißt, die Anzahl der Sätze von P (C) ist "zwei erhöht auf" nein" In unserem Beispiel enthält die Menge {0, 1, 2, 3, 4} zwei bis fünf Teile. Durch die Berechnung dieser „Potenz“ wurden wir mit dem Ergebnis der sechzehn Teile zufriedener, weil wir davon überzeugt waren, dass wir keinen Teil vergessen hatten.

Es ist interessant festzustellen, dass dieses Potenz- „Gesetz“ zum Prüfen, ob die Anzahl der erhaltenen Teile korrekt ist, auch für den Extremfall des leeren Satzes gilt. Wir fragen: Wie viele und was sind die Teile des leeren Sets? Antwort: Zwei auf 0 erhöht! Andererseits wissen wir leicht, dass die leere Menge nur einen Teil hat, nämlich den leeren Teil. Deshalb sagen wir, dass "zwei auf Null erhöht ist eins". Aber das bringt uns ein faszinierendes Problem: Wie hoch ist die Leistung? “nein auf Null erhöht “?

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