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Endliche Strukturen der Zahlen II


Nehmen wir eine der möglichen Kritikpunkte vorweg, die am Vorschlag unseres vorherigen Artikels angebracht sein könnten. Aus unserer Sicht ist dies die einzige relevante Kritik, die der Vorschlag zulässt. Tatsächlich ist eine solche Kritik jedoch nur möglich, weil es unsere Absicht war, eine Idee auf sehr einfache und unkomplizierte Weise zu präsentieren. Heute werden wir die fehlenden Details nennen und wir glauben, dass es danach für jeden (der Mathe mag und keine mittelmäßigen Kinder haben möchte) sehr schwierig sein wird, den Weg der endlichen Zahlensysteme abzulehnen.
Die Art und Weise, wie wir endliche Zahlensysteme motivieren, lässt folgende Kritik zu: "Frühling + 1 = Sommer" ist keine gültige Gleichung, da es sich um eine Summe inhomogener Größen handelt…! Natürlich sprechen wir intuitiv und es geht uns nicht um Strenge mit dem Wort "Quantität". Fakt ist aber, dass es seltsam ist, an die "Summe einer Jahreszeit mit einer reinen Zahl" zu denken. Also machen wir Folgendes: Wir legen die Frühjahrssaison in unserem Denken fest und weisen P darauf hin. Dann werden wir nur über die Jahreszeiten nachdenken, die nach einigen Perioden vergangen sind. Zum Beispiel ist P + 1 = V, wobei wir nach einem Zeitraum von drei Monaten nur die folgende Frühjahrssaison angeben. Das bedeutet, dass unsere Kinder spielen, um herauszufinden, was passiert, wenn wir diese Überlegungen wiederholen. Sie werden eine sehr interessante Tabelle finden: P + 1 = V, P + 1 + 1 = O (Herbst), P + 1 + 1 + 1 = I, P + 1 + 1 + 1 + 1 = P. Mit ein wenig Hilfe vom Lehrer (dafür ist der Lehrer da) werden Kinder "entdecken", dass die Vorstellung "1 + 1 + 1 + 1" dasselbe bewirkt wie die Vorstellung "nichts zu tun", oder wenn Sie die Hilfe des Lehrers brauchen " 1 + 1 + 1 + 1 = 0 ". Sie werden feststellen, dass sie mit den Symbolen "=", "+", "0" und "1" spielen können. Es besteht nicht länger das Problem, "inhomogene Mengen in Beziehung zu setzen". Dies ist eine großartige Entdeckung, nicht nur für Kinder, sagen wir mal 11, sondern für alle, die sich für Mathematik interessieren. Der Lehrer kann die schöne Tatsache betonen, dass in diesem Zahlensystem nur vier Symbole verwendet wurden: "0, 1, +, =". Und es gibt eine großartige Gelegenheit für den Lehrer, die Kinder durch eine sehr nützliche Erfahrung mit der Idee der Vereinfachung zu führen, die in der Mathematik so grundlegend ist. Das einfache "1 + 1" -Experiment "1 + 1 + 1" führt sofort zu einem neuen Problem: dem Erfordernis der Vereinfachung und Wirtschaftlichkeit bei der Verwendung von Symbolen und Operationen.
Eines der Hauptprobleme für Anfänger in der Mathematik ist das Problem, sich an die Verwendung von Symbolen für Ideen zu gewöhnen. Jede Nummer benötigt ein anderes Symbol. Einer der Gründe, warum das unendliche System natürlicher Zahlen für Kinder äußerst komplex ist, besteht darin, dass es unendliche Symbole zur Darstellung von Zahlen benötigt. Das Kind muss unter anderem das Problem lösen, wie es diese unendlichen Symbole herstellen kann, die für die Darstellung der natürlichen Symbole notwendig sind. Dies ist nicht einfach und wurde von der Menschheit vor dem Jahr 1000 n. Chr. Nicht vollständig geklärt: Es ist das berühmte indo-arabische Positionssystem, dessen Entdeckung mit der Schaffung des digitalen Computers verglichen werden kann. Das indo-arabische Positionssystem und der digitale Computer ermöglichten tiefe Umwälzungen des menschlichen Wissens, nur weil sie die Ergebnisse komplizierter Berechnungen zur Verfügung stellten. Der Leser kann sich einen sehr einfachen Eindruck verschaffen, indem er versucht, 13 x 29 mit römischen Ziffern zu berechnen.
Die einfachste Idee, die mit dem Positionssystem verbunden werden kann, ist die Idee, die Darstellung von Zahlen zu vereinfachen. Das heißt, wie können wir zum Beispiel die Darstellung "1 + 1" vereinfachen? Niemand wird die Geduld haben, die ganze Zeit "1 + 1 + 1 + 1 + 1 +… + 1" zu schreiben und dennoch Additionen und Multiplikationen mit diesen Ausdrücken zu berechnen. Dies ist, so dürfen wir sagen, das Hauptproblem des Grundschullehrers für Mathematik: Kinder dazu zu bringen, Symbole einzufügen und sie in der Darstellung von Zahlen zu verwenden. Es gibt jedoch eine zusätzliche Schwierigkeit: All dies muss wirtschaftlich und einfach erfolgen, da sonst Berechnungen und Fortschritte im Mathematikstudium unmöglich werden. Indem wir den Ausdruck 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3 vereinfachen, helfen wir dem Kind, das grundlegende Problem der Zahlendarstellung zu lösen, das im Fall natürlicher Zahlen die geniale indo-arabische Lösung von erfordert Positionssystem. Dadurch kann das Kind auf einfache Weise alle Grundlagen eines Zahlensystems erfahren und frei mit möglichen Verallgemeinerungen spielen.
Beachten Sie, dass das System "1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 1 + 1 + 1 = 0" nur sechs Symbole (0, 1, 2, 3, +, =) hat vollständig vom Jahreszeitensystem motiviert sein und zwei mathematisch sehr interessante Tische bieten, an denen Kinder spielen können, bis sie müde werden. Wenn sie müde werden, können sie die nächsten zyklischen Systeme von 5, 6, 7 usw. suchen. Staaten. Für den Lehrer ist es wichtig, die Multiplikationstabelle einzuführen, da die Multiplikation Teil der Lösung des Vereinfachungsproblems ist: 1 + 1 = 2,1, 1 + 1 + 1 = 3,1. Dies bringt jedoch sofort ein neues Problem und eine wichtige Entdeckung mit sich: Konnten die neuen Symbole 2 und 3 nicht auch "addiert" und "multipliziert" werden? Es ist sehr wichtig, dass dieses "Spiel mit einem endlichen System" ein gut verstandenes Ende hat: Der Zyklus der Jahreszeiten wurde numerisch dargestellt, das Problem der numerischen Darstellung eines zyklischen Systems mit wenigen möglichen Zuständen wurde gelöst, das Problem wurde gelöst. Das Problem der Vereinfachung und der Ökonomie von Symbolen und Operationen sowie ein sehr natürlicher Weg der Fortsetzung des Denkens, dh der Weg der Repräsentation aller möglichen endlichen Zyklen, wurden eröffnet. Der Lehrer sollte sicherstellen, dass die beiden nachstehenden Tabellen vollständig in die Erfahrungen jedes Kindes einfließen und dass er in der Lage ist, zu interpretieren und zu erklären, wie jeder Eintrag in der Tabelle erreicht wurde. Wir sehen nur einen Weg für den Lehrer, um sicherzustellen, dass die Kinder diese Erfahrung mit einbeziehen: indem er prüft, was sie mit dem Fünf-Staaten-Zyklus spielen können.
Das Nettoergebnis all dessen ist eines: Kinder werden erkennen, dass Symbole mit "großer Freiheit" in Verbindung gebracht werden können. Dies ist die großartige Lehre der Mathematik, das heißt, wir müssen die Dinge nicht "mit unseren Händen aufgreifen, um über ihre Eigenschaften nachzudenken". Wir können durch symbolische Darstellungen argumentieren, aber es gibt einige natürliche Probleme, die gelöst werden müssen, bevor diese Darstellungen erfolgreich gemacht werden können. Kinder müssen sich bereits mit diesen Problemen auseinandersetzen, wenn sie mit Zahlen experimentieren. Und nichts ist natürlicher, als mit den einfachsten Zahlensystemen zu beginnen, den endlichen Systemen.
Der gut informierte Mathematiklehrer weiß, dass diese Strategie des Mathematikunterrichts einen weiteren außerordentlichen Vorteil bietet: Kinder können natürlich mit der Messung von Symmetrien beginnen, einem Grundbegriff der zeitgenössischen Wissenschaft. Die einfachsten Formen der Symmetrie sind endliche Zyklen. Endliche Zahlensysteme sind nichts anderes als Messungen der einfachsten Symmetrien. Wir sind nicht gegen das Experimentieren von Kindern mit natürlichen Zahlen, aber wir müssen bedenken, dass dieses System einen unendlichen Kreislauf darstellt und daher die zu überwindenden Schwierigkeiten nicht trivial sind, was das Problem der Erzeugung unendlicher Symbole hervorhebt. Warum nicht den Kindern die Erfahrung einer endlichen Zyklusrepräsentation ermöglichen?

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