Im Detail

Symmetrie in der Mathematik IV


Es ist nicht paradox, das in unseren Augenblicken zu sagen
eher theoretisch
wir sind vielleicht näher dran
unsere praktischsten anwendungen.

A. N. Whitehead

... Wir können das argumentieren, da nur zwei Symbole, die 0 und die 1, Menschen, fürs Erste, unser Universum, ist es von grundlegender Bedeutung zu entscheiden, ob 1 + 1 Es wäre eine neue Einheit. Im Übrigen gilt die gleiche Frage für Fälle 0 + 1, 0 '1, 1' 1, 0 '0 und 0 + 0: werden hier auch neue generiert? …

… Wir haben bereits in früheren Kolumnen die Fälle besprochen, in denen 1 +… + 1 kann sein 0. Sie sind die endlichen Strukturen von Zahlen. Wir beginnen nun die Diskussion des Falls, in dem 1 +… + 1 niemals ist 0Was auch immer die Anzahl der Parzellen in dieser Summe sein mag, das ist der Fall des realen Körpers ...

Stellen Sie sich eine Zahlenstruktur vor, bei der Generator 1 niemals 0 erzeugt. Dies ist eine nichttriviale Einstellung. Diese Vorstellung wirft sofort das Problem auf, die richtigen Symbole zu erfinden, um eine „unendliche“ Anzahl von Zahlen darzustellen. Das heißt, wir brauchen ein Symbol für 1 + 1, für 1 + 1 + 1 usw. Wir stehen sofort vor der wichtigsten Idee der Mathematik: der Idee von unendlich. Wie gewöhne ich mich an diese Idee? Es gibt nichts in unserem täglichen Leben, das uns inspiriert und unseren Geist dieser Idee entgegenbringt. Im Gegenteil, diese Idee scheint Licht in die vielen Rätsel unseres praktischen Lebens zu bringen. Aber das erste Problem, dem wir uns stellen müssen, wenn wir Ordnung in Ideen wollen, ist das Problem, eine unendliche Anzahl von Zahlen darzustellen. Dieses Problem ist alles andere als einfach, so dass die Menschheit erst um das Jahr 1000 n. Chr. Eine zufriedenstellende Lösung dafür fand.

In Indien und Arabien scheint dieses Problem gelöst worden zu sein. Die Lösung ist das Positionssystem, bei dem das Symbol 0 eine grundlegende Rolle spielt. Diese Erfindung ist im Hinblick auf die Freisetzung mächtiger Fortschrittskräfte mit der Computerrevolution der 1980er Jahre vergleichbar. Die Grundrechnung ist kein Hindernis mehr für die mathematische Vorstellungskraft. Das Positionssystem könnte ein effizientes Verfahren zum Erzeugen und Darstellen einer unbegrenzten Anzahl von Zahlen aus einer Handvoll von zehn Symbolen bereitstellen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die folgende Zahl Keine Darstellungsprobleme mehr: Es ist 10, wobei 0 eine Position einnimmt, wodurch 1 gezwungen wird, eine neue Position einzunehmen, wodurch immer die gleichen Symbole 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 geben eine Zahl an, die „zehnmal größer“ ist als Generator 1 oder eine beliebige andere Zahl der Form 1 + 1 + 1 +… +1, unabhängig von der Anzahl der Raten, die 1 entspricht.

Dieser Fortschritt war jedoch nicht zuletzt auf dem Gebiet des numerischen Rechnens zu verzeichnen. Der spektakulärste Fortschritt sollte auf dem Gebiet der Konzeptualisierung erzielt werden. Das Positionssystem schlug vor, dass eine unendliche Stellendarstellung (0,111…) einer Zahl auf dieselbe Weise wie eine endliche Darstellung wie 2,3045 entsprechen könnte. An diesem Punkt stehen wir vor drei Ideen von kolossaler Bedeutung: Zusätzlich zu der Idee, dass es unendliche Zahlen gibt, die wir zuvor erwähnt haben, stoßen wir auf die Idee, dass es Zahlen gibt, die eine unendliche Dezimaldarstellung erfordern, und auf die Idee, dass es unendlich kleine Zahlen gibt. . Hier ist eine Säule der Symmetrieidee, die die zeitgenössische Wissenschaft durchdringt. Symmetrisch zur Vorstellung von unendlichen Zahlen, also der Vorstellung von unendlich großen Zahlen, stößt man auf die Vorstellung von unendlich kleinen Zahlen, die untrennbar mit der Vorstellung von Zahlen mit unendlicher Dezimaldarstellung verbunden ist.

Es überrascht nicht, dass eine solche Struktur auch unendlichen Reichtum hat. Es enthält beispielsweise eine Darstellung für eine Endlosschleife. Es ist leicht, endliche Zyklen in der Natur zu finden, wie Tag und Nacht, Jahreszeiten, biologische Zyklen usw., aber es scheinen in der realen Welt keine unendlichen Zyklen zu existieren. Paradoxerweise erscheint uns die Idee eines unendlichen Kreislaufs, der mit den Zahlen 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1,… assoziiert ist, natürlich und zieht uns unwiderstehlich an. Was überrascht, ist, dass eine solche Struktur nützlich sein kann, um unsere praktischen und theoretischen Probleme zu lösen, selbst angesichts unserer Unfähigkeit, unendliche Zyklen in der Natur zu erkennen. Die endliche Welt findet fantastische Anwendungen der Idee der Unendlichkeit.

Nach einer bestimmten Reihenfolge von Ideen müssen wir ein Problem lösen: Warum hat die Endlosschleife 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... einen Anfang und kein Ende? In unserer Vorstellung scheint dies kein tödlicher Defekt zu sein, aber es ist zweifellos ein faszinierendes Merkmal: Es ist daher asymmetrisch. Wenn wir "Ihre linke Seite" schaffen, beseitigen wir diese Asymmetrie. Wir nehmen also die von 1 erzeugten negativen Symmetriezahlen auf und haben:

… , -(1+1+1), -(1+1), -1, 1, 1+1, 1+1+1,…

Aber zwischen Negativen und Positiven erschien ein "Vakuum", das durch eine Zahl gefüllt werden konnte, die "neutral" war, dh weder positiv noch negativ. Diese kleine Asymmetrie kann durch 0 beseitigt werden. Wir haben dann einen symmetrischeren unendlichen Zyklus, der keinen Anfang und kein Ende hat und unendlich ist:

… , -(1+1+1), -(1+1), -1, 0, 1, 1+1, 1+1+1,…

Jetzt scheint unser Geist einen Gleichgewichtszustand erreicht zu haben. Die obige numerische Darstellung scheint so viel von unserer Vorstellungskraft wie möglich umfasst zu haben, um unendliche Zyklen darzustellen. Bis uns ein neues Problem herausfordert, können wir mit dieser Darstellung der möglichen Zahlen zufrieden sein. Zumindest für die von 1 erzeugten Zahlen. Dies scheint die maximale Struktur zu sein, die von 1 erzeugt wird, wenn unsere Vorstellungskraft verlangt, dass niemals 1 + 1 + 1 +… +1 0 sein darf.

Wir hatten oben die Idee von unendlich kleinen Zahlen erwähnt. Woher kommt diese Vorstellung? Dies ergibt sich wiederum aus der Lösung einer weiteren interessanten Bemerkung: Warum würde es nur unendlich große Zahlen geben, wie die, die wir in der obigen Reihenfolge erhalten? Das heißt, 1 erzeugt durch Addition unendliche Zahlen und somit unendlich große Zahlen. Können wir uns nicht auch unendlich kleine Zahlen vorstellen? Wessen letzteres würde von wem erzeugt?

Nach einigen Augenblicken rigoroser Selbstbeobachtung können wir sehen, dass wir wirklich vor einer neuen Herausforderung stehen, einer neuen Asymmetrie. Wir haben festgestellt, dass es nicht zufriedenstellend ist, eine numerische Struktur zu akzeptieren, die Zahlen enthält, die nur wachsen können. Wir haben einen Mangel an Zahlen festgestellt, der ebenfalls abnehmen kann. Diese Asymmetrie muss korrigiert werden, sonst müssen wir mit einer Unruhe leben, die zweifellos zu Unzufriedenheit wird. Aber wie kann dieses Problem weiter gelöst werden?

Wieder einmal zeigt das Positionssystem seine immense Kraft. Es können sehr einfache Argumente ausgelöst werden, um diese verborgene Symmetrie des Unendlich Kleinen aufzudecken, indem ein Kontrapunkt zum Unendlich Großen gesetzt wird. Ist das nicht die Intuition, die auf die Erfahrung des Lebens mit der physischen Natur hindeutet?

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