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Ein bisschen mehr über bestellte Paare


Wenn die und b sind Mengen, also definieren wir "geordnetes Paar" als Menge (a b) = {{die}, {a b}}. Dies ist die berühmte Definition von Norbert Wiener. Wir hatten Ihnen eine Herausforderung hinterlassen: warum (a b) ≠ {a b} ? Wir argumentieren, dass das Set {a b} ungleich geordnetes Paar (a b) einfach weil es sets in gibt {a b}zum beispiel b, die nicht zum Set gehören (a b). Aber wir hatten noch eine zweite Herausforderung für Sie hinterlassen: warum b gehört nicht dazu (a b)? Tatsächlich könnten wir das auch sagen die gehört nicht dazu (a b). Komm schon: wenn die gehören zu (a b) = {{die}, {a b}}dann oder die = {die} oder die = {a b}. In beiden Fällen sind wir zu dem Schluss gekommen die gehört zu die. Wir könnten dann schreiben die = {die,… } = {{die,… },… } = {{{die,… },… },… } =… .

Natürlich müssen wir jetzt einige Kommentare abgeben. Zunächst müssen wir erklären, was wir abschließen wollen. Nun, wir wollen Unsinn schließen! Dies liegt daran, dass wir nach einem sehr alten Demonstrationsmodell argumentieren, das den Griechen vor Christus bereits bekannt war. Es ist das Berühmte “Reductio ad absurdum”. Diese Demonstrationsstrategie besteht darin, anzunehmen, dass die von uns gewünschte Schlussfolgerung falsch ist, und aus dieser Hypothese einen absurden Satz abzuleiten, der nach unseren logischen Konventionen nicht gültig ist. Also gingen wir von dem bestellten Paar aus (a, b) war gleich zum Set {a b}. Diese Hypothese ist die Negation dessen, was wir wollen, dh die Negation der Behauptung, dass diese beiden Mengen unterschiedlich sind. Daraus leiten wir ab die gehört zu die. Nun, dann können wir dies schriftlich anzeigen die = {die,… }genau weil die ist eines der Sets, die dazu gehören die. Aber wir können noch einmal darüber nachdenken und schreiben: a = {{die,… },… }. Beachten Sie, dass wir bereits zwei Schlüsselpaare für das Set verwenden. die. Wenn wir noch einmal darüber nachdenken, dass die gehört zu diewir können noch einmal schreiben a = {{{die,… },… },… }. Jetzt stellen Sie fest, dass dieser Prozess nicht mehr aufhört.

Sie könnten unser Vorgehen in Frage stellen, indem Sie sagen: Schauen Sie, Sie haben noch nicht definiert, was Sie sind "Drei Punkte"Warum schreibst du? “… ”? Es wäre eine verdorrende Kritik. Nehmen wir jedoch an, wir versuchen nur, unsere Argumentation zu verdeutlichen, und wenn wir unser Ziel intuitiv erreicht haben, würden wir alles auf saubere Teller legen, dh wir würden einen Abzug unter Berücksichtigung aller unserer bereits festgelegten logischen Konventionen, Definitionen und Axiome machen. Wenn Sie uns diesen Waffenstillstand gewähren, können wir sagen, dass wir mit einer Tatsache konfrontiert sind, die zumindest unangenehm und wahrscheinlich unerwünscht ist. Diese Geschichte von "unendlichen" Schlüsseln macht uns Angst und es scheint keine gute Sache zu sein! Darüber hinaus ist die Vorstellung einer zu sich selbst gehörenden Menge zumindest für uns (und für Sie?) Nicht intuitiv.

Was zu tun Um Mathematik zu studieren, kann man auf ihre Geschichte zurückgreifen und lernen, wie andere Mathematiker mit den gleichen Fragen konfrontiert wurden, die wir für uns entdeckt haben. Manchmal entdecken wir neue Fragen, und dann kann es sein, dass die Geschichte uns nicht hilft. Aber im Fall der Aberration unendlicher Schlüssel haben wir Glück: Der Mathematiker D. Mirimanoff entdeckte 1917, dass solche unendlichen abnehmenden Folgen von Relevanz existieren können. Mit anderen Worten, sie können mathematisch existieren. Aber er scheint sie sehr gemocht und ein Axiom vorgeschlagen zu haben, das sie verbietet. Es wird unser neuntes Axiom sein. Da das neunte und letzte Axiom diese Art von „Freak of Membership“ verbietet, kommen wir zu dem Schluss, dass wir zur Absurdität gekommen sind, weil wir angenommen haben, dass das geordnete Paar ist (a, b) waren gleich dem Set {a b}. Wir benutzen nun die Prinzipien des Widerspruchs und des ausgeschlossenen Dritten, um daraus zu schließen (a b) ≠ {a b}.Wir schulden Ihnen eine Erklärung für unseren Vorschlag, dass “b gehört nicht dazu (a b)”In der letzten Spalte für die Demonstration, dass (a b) ≠ {a b}.

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