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Verallgemeinern heißt, sich auf das Wesentliche zu beschränken ...


Wie viel ist die Macht "n auf null erhöht"? Das haben wir schon gesehen m ist nichts weiter als die Anzahl der Teile des Sets m. Nun, im Fall von Potenz 2, die auf Null erhöht wurde, ist unser m Es ist die leere Menge. Unsere Frage ist also, wie viele Teile der leere Satz hat. Natürlich ist der einzige Teil des leeren Sets der leere Teil. Wir können leicht daraus schließen, dass 2 auf Null erhöht nur 1 sein kann, was der Anzahl der Teile (oder Teilmengen) der leeren Menge entspricht.

Der Verallgemeinerungsprozess in der Mathematik ist ein grundlegender Prozess. Wir könnten sagen, dass der Mathematiker die ganze Zeit versucht, eine ihm bereits bekannte Wahrheit oder nur aus Neugier zu verallgemeinern, selbst wenn er nicht weiß, ob eine Aussage wahr ist, kann der Mathematiker fragen, ob sie eine "Verallgemeinerung" zulässt. Es ist sehr einfach, Beispiele für interessante und wichtige Verallgemeinerungen zu nennen. Genau hier, genau jetzt, sehen wir uns einem interessanten und wichtigen Beispiel gegenüber: Wir stellen fest, dass die Potenzen von 2 einfach das Ergebnis der Zählung der Teile der Exponentenmengen sind. mEs ist unwiderstehlich zu fragen, ob die Mächte sagen, nein angehoben auf m, wäre in bestimmten Situationen auch nicht das Ergebnis von Objektzählungen. Denken Sie daran, dass die natürlichen Zahlen selbst als Repräsentationen der Zählergebnisse gedacht werden können: Null (oder leere Menge) ist das Ergebnis des Zählens der Mengen, die zur leeren Menge gehören, 1 ist das Ergebnis des Zählens der Mengen, die zur Menge gehören. {Æ} und so weiter. Man könnte sagen: "Natürliche Zahlen sind der eigentliche Zählprozess". Wir stimmen voll und ganz dieser Auffassung zu, die übrigens sehr elegant ist.

Aber zurück zum heutigen Thema, könnten wir die Idee "verallgemeinern", dass eine Potenz von 2 die Teile ihres Exponenten zählt m und dann fragen, ob eine Grundleistung nein und Exponent m Wäre das nicht eine interessante Zählung? Wenn ja, müssen wir wissen, was zählt? Der Bereich der Mathematik, der sich mit dieser Art von Problem befasst, nämlich das Objektzählproblem in bestimmten Situationen, ist der Kombinatorisch. Es ist ein faszinierendes Gebiet, genau wie jedes andere Gebiet der Mathematik. Es hat sich in den letzten Jahrzehnten bemerkenswert entwickelt, ebenso wie die gesamte Mathematik. Wir erleben eine Zeit großer Fortschritte in der Mathematik. Um Ihnen eine Vorstellung zu geben, finden Sie bereits in guten Buchhandlungen, wie der ausgezeichneten Livraria Cultura de São Paulo, Bücher über das Humangenom-Kombinatorik, ein sehr wichtiger Bereich, der in den kommenden Monaten sicherlich große Fortschritte machen wird.

Aber lassen Sie uns nicht den Faden verlieren: Wie wird die Idee, hinter die Potenzen von 2 zu zählen, verallgemeinert? Verallgemeinern heißt, sich auf das Wesentliche zu beschränken. Was wir also tun müssen, ist zu sehen, was für die Zählung hinter einer Potenz von 2 wesentlich ist. Denken Sie daran, dass die Transformationen der Menge m in der Menge gab {0, 1} = 2 uns die Idee der Trennung der Menge m in zwei Paketen. Ein Paket war das der Sätze von m die mit 0 verknüpft waren und das verbleibende Paket das Paket der verbleibenden Sätze war. Die Essenz einer Funktion oder Transformation der Menge m in Satz 2 ist die Idee des "Farbwickelns", das heißt für jeden Satz y (Farbe y) des Sets nein wir haben das "color package" gebildet y"von Sätzen x von m. Wann? nein ist 2 das gibt uns einfach die Anzahl der Teile von m.

Das war also die Hypothese, dass Grundkräfte nein und Exponent m Sie sind auch Ergebnisse interessanter Zählungen, die allgemeiner sind als das Zählen der Teile der Menge. m. Die Potenzen n, die auf m angehoben werden, zählen einfach, auf welche Weise wir mit den Mengen von m Pakete mit n Farben bilden können. Probieren Sie es selbst aus: Stellen Sie sicher, dass diese kombinatorische Interpretation der natürlichen Potenzen natürlicher Zahlen auch bei 2-Würfeln und 3-Würfeln funktioniert. Denken Sie daran, dass leere Verpackungen erstellt werden dürfen, um die erforderliche Farbmenge zu berücksichtigen. Natürlich können Sie jetzt ohne zu zögern antworten: jede natürliche Potenz von Exponent 0 ist 1!

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