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Zwei unbezahlbare Neuigkeiten


Sowohl das Gaußsche Gesetz als auch Maxwells Ansatz sind direkte Konsequenzen eines Standpunkts, der versucht, Symmetrien und Antisymmetrien in der Natur und Mathematik sowie die Analogien zwischen ihnen zu untersuchen.
Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen VIII

Wahrheit entsteht eher aus Irrtum als aus Verwirrung.
Francis Bacon, Novum Organum

Wir könnten das Thema Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen durch die mathematische Entwicklung der Vektoralgebra noch einige Jahre weiter untersuchen, ohne dass die Faszination, die damit einhergeht, auch nur einen winzigen Teil davon abnimmt. Die Vertiefung dieser Behandlung könnte einen Aufwärtstrend verfolgen, um die Intimität der Materie und ihre Beziehung zum beobachtbaren Universum aufzuklären.

Ein Weg, diese Idee zu verwirklichen, wäre, Geoffrey M. Dixons Buch zu folgen, Division Algebren: Octonions, Quaternions, Complex Zahlen und das algebraische Design der Physik. Es gibt nur vier Divisionsalgebren: die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen. Dixon verwendet eine neuere mathematische Struktur, die Zusatzteilungsalgebra, in der die vier Teilungsalgebren als Spinorräume auftreten.

Die Entschlüsselung der Bedeutung dieser Begriffe würde noch einige Jahre unseres Lebens in Anspruch nehmen. Dixon glaubt, dass dieser Teil der Mathematik ausreicht, um die Struktur unserer physikalischen Realität zu beschreiben und zu entwirren, und leitet, um es richtig zu beweisen, aus diesen Algebren einen Teil des berühmten Standardmodells ab, die Leptonen und Quarks, grundlegende Teilchen des Atomkerns. Dixons Argumentation zu verstehen, ist eine gute Motivation für das menschliche Leben. Wir werden unsere Route vorübergehend ändern, um einige der anderen ebenso noblen Motive zu untersuchen, die jetzt verfügbar sind.

Die meisten Mathematiker und Physiker können sich nicht über die fehlende Motivation beklagen, im gegenwärtigen historischen Moment am Leben zu sein. In der Welt der mathematischen Physik gibt es eine Reihe wunderschöner und tiefgreifender Theorien, deren Auswirkungen auf das menschliche Leben und die Fähigkeit des Homo sapiens sapiens, in die Natur einzugreifen, noch nicht bekannt sind. Einige behaupten sogar, dass dies die beste Zeit in der Geschichte der Menschheit ist, da die Entwicklung von Wissenschaft und Technologie, insbesondere Mathematik und Physik, zweifellos jenseits der Wirtschaft und der Tatsache, dass dieser Punkt erreicht wurde ein gewaltiger technologischer Wendepunkt sein.

Wir möchten zwei wertvolle Nachrichtenartikel auswählen, insbesondere solche, die Mathematik mögen, und sie auf irgendeine Weise pflegen. Die erste handelt von der außergewöhnlichen Leistung des französischen Mathematikers Alain Connes und seiner Mitarbeiter.

Diese Nachricht wurde im September 2006 von Scientific American do Brasil (SCIAM) veröffentlicht. Connes wartet gespannt auf den Start des Large Hadron Collider in Genf, Schweiz, um zu beweisen, ob in diesem Labor das Higgs-Teilchen vorhanden ist oder nicht. Dieses Teilchen ist Physikern und Mathematikern seit langem bekannt, doch Connes folgerte seine Existenz aus seinem nichtkommutativen Raummodell: „Anstatt nach neuen Teilchen zu suchen, entwickeln wir eine subtilere Geometrie, und Verfeinerungen dieser Geometrie erzeugen die neuen. Partikel “, sagte er gegenüber dem Brasilianer SCIAM.

Connes hatte bereits die Fields-Medaille gewonnen, die höchste Auszeichnung auf dem Gebiet der Mathematik, die jeder für seine Arbeit und insbesondere für seine Theorie mit dem Titel Noncommutative Geometry anstreben kann. In den letzten dreißig Jahren hat er eine Konzeption des nichtkommutativen Raums ausgearbeitet, die alle Algebren enthält, die die für das Standardmodell der Elementarteilchen relevanten Symmetriegruppen erweitern: „Was mich wirklich interessiert, sind die komplexen Berechnungen, die von Physikern durchgeführt und experimentell getestet wurden. Ich habe 20 Jahre lang versucht, die Renormalisierung zu verstehen. Nicht, dass ich nicht verstanden hätte, was Physiker taten, aber ich habe die Bedeutung der Mathematik dahinter nicht verstanden “, sagte er.

Connes und sein Kollege, der Physiker Dirk Kreimer, stellten fest, dass die wichtige Renormalisierung, die die Physiker vor einigen Jahren durchführten, durch die Lösung eines der berühmten 23 Hilbert-Probleme, die 1900 auf dem Pariser Mathematikkongress formuliert wurden, vollständig gerechtfertigt werden konnte. Damit haben diese beiden erfahrenen Mathematiker einen wichtigen Schritt zur Vereinheitlichung der Relativitätstheorie mit der Quantenmechanik getan. Es ist unbestreitbar, dass wir aufregende Zeiten erleben!

Connes hat zusammen mit dem Physiker Carlo Rovelli gezeigt, dass Zeit auf natürliche Weise aus der Nichtkommutativität beobachtbarer Schwerkraftgrößen entstehen kann. Könnte sich jemand einen schöneren Satz vorstellen als diesen? Die Zeit wird nicht vorher angegeben, sie ist vor nichts anderem. Es erscheint einfach als Folge der Beobachtung der Schwerkraft.

Würden diejenigen, die von der Ableitung der Higgs-Teilchen unbeeindruckt waren, wenn vernünftige Wesen weiterhin eine träge und gleichgültige Haltung gegenüber diesem Theorem über die Zeit einnehmen?

Connes berichtet, dass sich seine nichtkommutative Theorie der physischen Realität von der Superstringtheorie unterscheidet. Letzteres kann in diesem Stadium der Wissenschaft und Technologie von keinem Labor, das von Homo sapiens sapiens gebaut oder erdacht wurde, direkt getestet werden. Connes sagte jedoch die Higgs-Teilchenmasse voraus: 160 Milliarden Elektronenvolt; und besagt, dass diese Vorhersage und Renormalisierung auf dem Large Hadron Collider getestet werden konnte.

In der Tat ist dies eine unschätzbare Nachricht. In den nächsten Jahren werden wir auf Publikationen zugreifen können, die dem Laien die Realität der Elementarteilchen, die Vereinigung von Einsteins Relativitätstheorie mit der Quantenmechanik und die schöne Mathematik der Algebren, die all diesen Symmetrien zugrunde liegen, verständlich erklären. Symmetrien und Symmetriebrüche.

Die zweite unbezahlbare Neuigkeit, insbesondere für Mathematiker und Physiker, betrifft die Wirtschaft, die etwas paradox erscheinen mag und die wir in zwei Teile aufteilen werden.

Der erste Teil ist, dass sich nach einer bedeutenden Entwicklung im 20. Jahrhundert mathematisch gesehen die Art und Weise, wie die Wirtschaft Wohlstand hervorbringt, radikal verändert hat.

Die Mathematik hat wesentlich zu einer rigorosen und wissenschaftlichen Behandlung der Wirtschaft beigetragen, insbesondere im 20. Jahrhundert. Im Oktober 1990 veröffentlichte der Ökonom Paul Romer einen Artikel, der ein äußerst originelles und mutiges mathematisches Modell der Natur des Wirtschaftswachstums vorstellte. Romer hat mathematisch gezeigt, dass die Wissensökonomie nach zweihundert Jahren aus der Informalität und einer unbequemen Position im hinteren Teil der Wirtschaftstheorie hervorgegangen ist.

Wenn wir unserer Vorstellungskraft einen Moment Zeit lassen, wird es nicht schwierig sein, „Wissensökonomie“ mit „beschleunigter mathematischer Entwicklung“ in Verbindung zu bringen. Diese Art der Zuordnung ist nicht neu. Das Auftreten der Infinitesimalrechnung im 16. und 17. Jahrhundert beschleunigte sich und die Beobachtung der Natur wurde zu "Physik" oder "Beobachtung der Natur mit Wissen". Das gleiche gilt für "Chemie" und viele andere Bereiche des menschlichen Wissens.

Im späten neunzehnten Jahrhundert stellten britische Ingenieure, die mit schwierigen elektrotechnischen Problemen zu kämpfen hatten, die beim Bau von Telegraphen- und Stromnetzen auftraten, fest, dass viele dieser Probleme mathematisch formuliert und gelöst werden konnten, indem man das Entwicklungsstadium von „Accelerated Calculus“ ausnutzte. "Und" Beschleunigte Physik ". In dieser Kulturbrühe trat Oliver Heaviside mit seinem rätselhaften und brillanten "Operational Calculus" auf. Albert Einstein sah die Tensoren der Differentialgeometrie mit Hilfe seines Kollegen und Freundes Marcel Grossman, Mathematiklehrer an der Polytechnischen Schule Zürich. Es gibt eine sehr reiche Geschichte der Beschleunigung mathematischen Wissens, die die Beschleunigung anderen Wissens impliziert.

Warum würde dieses Phänomen auch in Bezug auf die Wirtschaft nicht auftreten?

Wenn das komplexe Anreizsystem für die Schaffung neuer Ideen unterentwickelt ist, leidet die Gesellschaft unter dem allgemeinen Mangel an Fortschritten, ebenso wie wenn diese Anreize zu häufig oder zu eingeschränkt sind.

Das Phänomen der abnehmenden Rendite brachte seine fundamentale Position gegenüber dem Phänomen der steigenden Rendite oder der reichlichen Rendite zum Ausdruck. Das Axiom der Ressourcenknappheit ist teilweise dem neuen Axiom der Ressourcenfülle gewichen. Der Raum der Wirtschaft ist nicht mehr der Raum der Menschen und Dinge, sondern jetzt der Raum der Menschen, Dinge und Ideen. Eine Fülle von Ideen führt tendenziell zu einer Fülle von Ressourcen und Gütern. Dieses dritte Element, das durch das Wort "Ideen" repräsentiert wird, ist der Schlüssel zum Verständnis eines grundlegenden Rätsels der Wirtschaft, nämlich der schnelleren und umfassenderen Schaffung von Wohlstand.

Die Idee, dass die Wirtschaft Wohlstand schafft, wächst schneller und intensiver und wird immer zahlreicher, weil ihre Produktionsfaktoren nicht mehr nur Land, Kapital und Arbeit sind, sondern auch Menschen. , dinge und ideen. Dies ist der erste Teil der zweiten unbezahlbaren Nachricht.

Der zweite Teil der zweiten unbezahlbaren Neuigkeit ist, dass durch eine Kombination von Spieltheorie, einer wirklich mathematischen Theorie, Computertheorie und der aktuellen Evolutionstheorie in der Biologie eine Sicht entwickelt wurde, in der die Wirtschaft über Prozesse verfügt Innovation analog zu den Prozessen, die Vielfalt in der Biosphäre erzeugen, und ihre Dynamik entwickeln sich nach den Gesetzen des Darwinismus.

Aus dieser Perspektive wäre die Art und Weise, wie Wirtschaft Wohlstand schafft, ein evolutionärer Anpassungsprozess. Hier scheint es ein Paradox zu geben, dass die Mathematik im Bereich der Gleichungen unbrauchbar wird, da evolutionäre Prozesse nicht gleichwertig sind. Dies ist das Thema, das wir in unseren nächsten Kolumnen studieren und mit unseren Lesern teilen werden.

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