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Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen I


Bei der Interpretation von Universummustern müssen Lebewesen gezählt werden. Es ist nicht einzigartig für Homo sapiens sapiens (Hoss), aber diese Art ist die einzige, von der bekannt ist, dass es unendlich viele Möglichkeiten für das Einfachste gibt.

Natürliche Zahlen N sind das Modell für die einfachste Anzahl:

N = {0, 1, 2, 3,…}.

Der einfache Zählvorgang beinhaltet zwei Operationen mit den natürlichen Zahlen, nämlich die Addition von "+" und die Multiplikation von "×" Das heißt, das grundlegende Zählsystem besteht aus zwei Systemen. Das additive System hat das unterscheidbare Element "0" (Null) und das multiplikative System hat das unterscheidbare Element "1" (Eins).

Wir sagen, dass N, +, 0 und N, ×, 1ñ sind monoid, dh beide haben ein neutrales Element für ihren Betrieb.

die + 0 = die = 0 + die,

die ×1 = die = 1× die

für jedes Element die in N.

Die Additionsoperation ergibt sich natürlich aus den von der Hoss-Spezies durchgeführten Zählungen, aber die Multiplikationsoperation ist viel weniger natürlich. Um das Hinzufügen von wiederholten Begriffen zu vereinfachen, dh um Gedanken, Zeit, Raum usw. zu sparen, erfanden die Hoss-Proben die Multiplikation. Wir sehen also, dass es an seinem Ursprung eine Asymmetrie zwischen Addition und Multiplikation gibt. Die additiven und multiplikativen Monoide áN, +, 0ñ und áN, ×Ich habe einige Ähnlichkeiten.

Beispielsweise sind beide Halbgruppen, dh beide erfüllen die assoziative Eigenschaft:

die + (b + c) = (die + b) + c,

die × (b × c) = (die × b) × c

für irgendwelche Elemente die, b und c von N.

Nebenbei beobachten wir, dass die Additions- und Multiplikationsoperationen gut koexistieren, das heißt, die Multiplikation verteilt sich natürlich in Bezug auf die Multiplikation:

die × (b + c) = die × b + die × c

Es ist daher selbstverständlich zu fragen, ob diese beiden Halbgruppen nicht zu einer einzigen und größeren Halbgruppe zusammenkommen könnten.

Eine andere Frage, die sich sofort stellt, ist: Gibt es andere natürliche Halbgruppen im Universum?

Wenn irgendein Exemplar von Hoss diese Nachforschungen anstellen wollte, was konnte er dann tun?

Es ist schwierig, nur abstrakt nach einem Weg zu suchen. Folgen wir daher einem der möglichen Wege, der der historische Weg ist.

Hoss-Mathematiker konnten die Gleichung nicht lösen x + die = 0 in der Halbgruppe áN, +, 0ñ. Sie stellten fest, dass das Problem die fehlende Symmetrie in dieser Halbgruppe war. Es kann beobachtet werden, indem die natürlichen Zahlen auf einer Linie geometrisch dargestellt werden. Die Punkte stehen nur von Null auf einer Seite, dh eine halbe Gerade kann alle natürlichen Zahlen enthalten und eine gerade Linie hat somit eine überflüssige Hälfte.

Unerwartet entstand die Idee, die Existenz anderer Halbgruppen im Universum weiter zu untersuchen. Man kann versuchen, Gleichungen zu lösen und die neuen Zahlenmengen geometrisch darzustellen, um mehr Halbgruppen im Universum zu entdecken.

So entstanden aus den sogenannten mathematischen Mustern von Hoss die Negative natürlicher Zahlen. Die geometrische Darstellung natürlicher Zahlen wurde symmetrisch und jede Gleichung des Typs x + die = 0 könnte durch negative Naturals aufgelöst werden.

Alles natürlichdie"Jetzt hat ein negatives" - dieUnd deshalb haben wir:

x + die = 0 Þ (x + die) + (-die) = 0 + (-die) Þ x + (die + (-die)) = -die Þ x + 0 = -die Þ x = -die.

Die neue Halbgruppe ist z, +, 0ñ, wobei Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} eine Menge von ganzen Zahlen genannt wurde. Der Buchstabe Z wurde von der deutschen Wortnummer "zahlen" entlehnt.

Der Geist der Hoss-Spezies arbeitet nichtlinear und äußerst dynamisch. Es ist sofort zu fragen, ob das gleiche Phänomen bei der multiplikativen Halbgruppe áN nicht auftritt. ×, 1st. Das heißt, die analoge Gleichung x×die = 1 hat auch keine Lösung außer für den Fall die = 1. Sobald die Frage auftaucht, treten einige natürliche und interessante Probleme auf.

Um die multiplikative Halbgruppe áN zu erweitern, ×, 1ñ bis AZ, ×Die Mathematiker mussten die folgenden interessanten Probleme lösen.

(a) Wie multipliziere ich negative ganze Zahlen? Würde die Multiplikation auf der Grundlage der Ökonomie von Denken, Zeit und Raum fortgesetzt? Würde zum Beispiel ein fünfmal mit sich selbst summiertes Negativ eine negative Summe ergeben, so würde eine positive Zahl und ein negatives ein negatives Produkt ergeben?

(b) Wie könnten die beiden Halbgruppen in einer einzigen Struktur koexistieren, sagen wir AZ, +, 0, ×, 1ñ?

(c) Wäre es noch assoziatives Eigentum wert?

Die Kreativität der Hoss-Spezies hat eine einfache Lösung erfunden: Genau wie die Halbgruppen N, +, 0 und N, ×, 1ñ könnte natürlich durch verteilende Eigenschaft koexistieren, die neue Struktur AZ, +, 0, ×1ñ hätte kein Problem damit, die gleiche Regel zuzulassen, und die Multiplikation würde weiterhin Gedanken, Zeit und Raum sparen.

Es war jedoch ein Preis zu zahlen. Betrachten Sie zum Beispiel Gleichheit (1 - 1) × (1 - 1) = 0. Wenn es sich um die assoziativen und verteilenden Eigenschaften handelt, dann haben wir:

(1 - 1) × (1 - 1) = 0 Þ (1)×(1) + (1)×(-1) + (-1) ×(1) + (-1)×(-1) = 0 Þ 1 - 1 - 1 + (-1)×(-1) = 0

Þ - 1 + (-1)×(-1) = 0.

Wir sehen, dass ein Preis, der zu zahlen ist, um den Wunsch zu realisieren, natürliche Halbgruppen zu erweitern und Gleichungen zu lösen, darin besteht, zuzugeben, dass (-1)×(-1) muss eine ganze Zahl genau gegenüber -1 sein.

Jetzt dann (-1)×(-1) muss 1 sein. Der Rest der zu zahlenden Schuld ist das Eingeständnis, dass

(-die)×(-b) = die×b,

wie aus derselben Überlegung oben hervorgeht. Deshalb muss "negative mal negative positiv sein".

Jedes neugeborene Wesen verdient einen Namen. Die neue Struktur z, +, 0, ×, 1, distributivañ, das die additiven und multiplikativen natürlichen Halbgruppen in derselben Umgebung beherbergt, erhielt den Namen ring. Obwohl viel symmetrischer als die natürliche Halbgruppe, reicht es nicht aus, Gleichungen zu lösen. x×die = b.

Hoss 'unendliche Neugier erfand dann die inversen ganzen Zahlen: jede ganze Zahl dieaußer Null hat multiplikative Inverse die-1. So entstand ein breiterer Ring: Q, +, 0, ×, 1, distributivañ, der Ring der Brüche.

Der Buchstabe Q stammt aus dem Wortquotienten, weil der Ausdruck b×die-1 wurde interpretiert alsb geteilt durch die”, Also als Bruchteil b/die.

Also jede Gleichung x×die = bmit die ¹ 0, hat jetzt Lösung im Ring áQ, +, 0, ×, 1, distributiv:

x×die = b Þ (x×die)×die-1 = Þ x×(die×die-1) = b×die-1 Þ x×1 = b×die-1 Þ x = b×die-1.

Mathematische Proben sagen oft, dass die Halbgruppe az, +, 0ñ eine Gruppe ist, weil alle die hat inversen Zusatz -a, oder Gegenteil von die. In ähnlicher Weise ist auch die Halbgruppe Q, +, 0 eine Gruppe.

Wie für die Halbgruppe Q, ×, 1ñ, dasselbe kann man nicht sagen, weil 0 keine multiplikative Inverse hat. Gleichung 0×die = 1 hat keine Lösung in Universen, in denen 0 ¹ 1 ist, weil 0×die = 0 für alle die.

Diese Asymmetrie kann daher nicht festgelegt werden, weil 0 keine multiplikative Inverse haben kann, obwohl ihre additive Inverse, dh ihr Gegenteil, selbst ist.

Die Frage ist nun natürlich: Was ist die Kapazität des Ringes der Brüche q, +, 0, ×, 1, distributivañ Gleichungen lösen, da ihre geometrische Darstellung symmetrisch ist und die Linie viel besser ausfüllt?

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Video: K5 Symmetrie und Antisymmetrie von Relationen (November 2020).