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Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen II


In der vorherigen Spalte haben wir eine unvermeidliche Symmetrieunterbrechung gefunden: 0 kann keine multiplikative Inverse haben, obwohl seine additive Inverse, dh sein Gegenteil, selbst ist. Dann stoßen wir auf eine fundamentale, natürliche und logische Frage: Was ist die Kapazität des Ringes der Brüche Q, +, 0, ×, 1, distributivañ Gleichungen lösen, da ihre geometrische Darstellung symmetrisch ist und die Linie viel besser ausfüllt?

Von einem wichtigen geometrischen Standpunkt aus nehmen die Brüche die euklidische Linie symmetrisch ein, aber wie Pythagoras erkannte, haben bestimmte Hypotenusen eine Länge, die mit dem Kompass zu einem Punkt auf der euklidischen Linie geführt werden sollte.

Pythagoras musste die Gleichung lösen x2 = 2! Ein rechteckiges Kragendreieck mit der Größe 1 hat die Hypotenuse ¸, die kein Bruch ist, dh es gibt keine ganzen Zahlen. p und was so dass p/was = ¸. Mit dem mentalen Kompass stellte sich Pythagoras wahrscheinlich vor, dass sich ein Punkt auf der euklidischen Linie in einem Abstand von ¸ zu einem O-Punkt befinden würde.

Somit kommt eine unendliche Anzahl von irrationalen Zahlen ins Spiel, das heißt, die keine Brüche sind, aber dennoch auf der euklidischen Linie untergebracht werden können. Georg Cantor zeigte uns um 1800, dass die unendliche Menge der Irrationalen viel größer ist als die unendliche Menge der Brüche. Für diejenigen, die sich dafür interessieren, haben wir bereits in früheren Kolumnen die Ursache für die Existenz unendlicher Arten von Unendlichkeit untersucht.

Zurück zu den reellen Zahlen, wie sollen wir sie verstehen? Durch die unendliche Dezimaldarstellung machen wir folgende Unterscheidung: diejenigen, deren Dezimalexpansion nicht periodisch ist (das Irrationale) und diejenigen, deren Dezimalexpansion periodisch ist (die Brüche oder das Rationale). Die neue Kreatur heißt "Menge reeller Zahlen" oder einfach R.

Zum Beispiel 1 = 1,00000… 0000… Wir müssen nur besonders aufpassen: Wir können auch 1 = 0,999999… 9999… schreiben! Die Erklärung ist einfach: Die Zahl auf der rechten Seite ist nicht kleiner als 1, da sie unendlich viele Neuner hat und daher jede Zahl übersteigt, die kleiner als 1 ist. Andererseits ist sie natürlich nicht größer als 1. Daher kann es nur gleich 1 sein. Um Mehrdeutigkeiten bei der unendlichen Darstellung von Dezimalstellen zu vermeiden, werden wir uns darauf einigen, dass unendliche aufeinanderfolgende Nullen durch unendliche Neuner ersetzt werden, indem eine Einheit im Quadrat vor der ersten Null, die sich unendlich wiederholt, verringert wird. Für Additionen und Multiplikationen können wir jedoch beide Darstellungen verwenden.

Zum Beispiel können 1,39000… 000… gegen 1,38999… 999… eingetauscht werden! Auf diese Weise hat jede reelle Zahl eine einzige unendliche Dezimaldarstellung. Nummer 2 hat die Darstellung 1.999… 999…, Nummer 2,1 hat die Darstellung 2.0999… 999… und so weiter.

Wir dürfen nicht vergessen, dass für unsere Untersuchung bestimmte logische Axiome erforderlich sind. Zum Beispiel haben wir nur das Axiom davon verwendet die nicht kleiner als b und keiner ist größer als bdann die = b.

Diese elegante Charakterisierung von reellen Zahlen durch unendliche Dezimalstellen lässt uns definitiv der "Unendlichkeit" verfallen. Es gibt keine Möglichkeit, es loszuwerden, und warum sollten wir es vorerst tun? Galileo hatte (wie viele andere auch) Angst vor der mathematischen Unendlichkeit und riet uns, dies zu vermeiden, aber das ist vorbei am Wasser.

Wir erreichen dann die mentale Ebene der reellen Zahlen: ar, +, 0, ×, 1, distributiv. Wie addieren wir zwei Zahlen mit unendlichen Nachkommastellen, sagen wir ¸ + ¹?

Wir können nicht sagen, dass wir einfach die entsprechenden Nachkommastellen addieren. Es gibt ein Problem: Es gibt zum Beispiel kein letztes Quadrat von ¸ und ¹.

Stellen Sie sich vor, dass die irrationale Zahl existiert, obwohl sie nicht existiert. Aber warum? Übrigens!

Wir müssen noch erklären, wie wir zwei Zahlen mit unendlichen Dezimalstellen addieren oder multiplizieren. Wir wissen bereits, wie man das mit Brüchen macht.

Zum Beispiel

0,4999… 999… + 0,333… 333… = 0,5 + 1/3 = ½ + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 = 0,8333… 333…

Im Fall von ¸ + ¹ ist der Witz jedoch viel ernster. Nun, lassen Sie uns dies tun: Nehmen wir an, dass diese Summe existiert, das heißt, dass sie auch eine reelle Zahl ist und daher auch eine unendliche Dezimaldarstellung hat. Bei jeder Berechnung mit diesen Zahlen werden auch alle Eigenschaften des Bruchrings angenommen, und das war's, lassen Sie uns das Boot anfassen!

Wenn jemand droht, zurückgelassen zu werden, können wir dies sagen: In der Tat konnten wir mit großem Willen und Geduld die ersten Nachkommastellen von ¸ + ¹ entdecken. Zum Beispiel, als ¸ = 1,4… und ¹ = 2,2…, haben wir ¸ + ¹ = 3,… Wir können noch nicht sagen, welches die erste Stelle nach dem Komma ist, aber sicher die Dezimalstelle der ganzen Einheiten von ¸ + ¹ ist 3. Um die nächste Dezimalstelle zu finden, müssten wir wissen, welche zweite Dezimalstelle nach dem Komma von ¸ und ¹ steht. Das wäre kein Problem, wir würden nur Zeit und Energie aufwenden. Also haben wir in diesem Spiel keine Ungläubigen zurückgelassen.

Das Spiel, das wir weiter spielen werden, versucht herauszufinden, wie weit Hoss 'Verstand mit diesen hypothetischen Konstrukten gehen kann. Die euklidische Linie war am besten mit dem Irrationalen gefüllt. Tatsächlich ist es jetzt vollständig gefüllt. Die Möglichkeit von unendlichen Dezimalstellen für jede reelle Zahl deckt jedes Loch in der euklidischen Linie ab. Von nun an werden wir uns die euklidische Linie immer als etwas Kontinuierliches ohne Löcher vorstellen. Mit anderen Worten, zwischen zwei reellen Zahlen gibt es eine dritte, und daher gibt es Unendlichkeiten, weit mehr als die Anzahl der Brüche!

Da jede rationale Zahl ¹ 0 eine multiplikative Inverse im Ring der Brüche hat, sagen wir, dass der Ring ein Körper ist. Der Körper der Brüche q, +, 0, ×, 1, distributivañ erweitert auf den Körper der reellen Zahlen ÁR, +, 0, ×, 1, distributiv. Die wesentliche Tatsache war, dass Gleichungen der Form xnein = diewo die ist ein positiver Bruchteil, sie kamen übrigens zu irrationalen Lösungen die1 / ndas heißt root nein-th of die. Wie bei der Quadratwurzel kann jede Wurzel nein-th einer nichtnegativen rationalen Zahl entsteht, oft als irrationale Zahl. Die unendlichen Nachkommastellen von die1 / n kann geduldig durch Annäherungen wie für ¸ = 1.414 entdeckt werden ...

Sie können diese Strategie jedoch nicht zum Lösen der Gleichung verwenden x2 = -1. Wir müssen die euklidische Linie verlassen, um neue Zahlen aufzunehmen, die diese Art von Gleichung lösen. Wir beginnen mit der Hypothese, dass es eine Zahl gibt ich das erfüllt diese Gleichung. Also ich2 = -1. Da wir alle Eigenschaften des Körpers von reellen Zahlen erhalten wollen, müssen wir das Gegenteil von zugeben ich welches ist das -ichund all die anderen Vielfachen von ich im weg autschwo die Es ist eine reelle Zahl.

Komplexe Zahlen kommen als Strategie zum Lösen von Gleichungen wie ins Spiel x2 = -diesein die eine positive reelle Zahl.

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Video: K5 Symmetrie und Antisymmetrie von Relationen (Kann 2021).