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Symmetrie, Antisymmetrie und Symmetriebrechen VIII


Um Maxwell Station weiterhin zu schätzen, müssen wir auf einen kleinen Teil der Arbeit eines der drei größten Genies der Mathematik zurückgreifen: Carl F. Gauss. Dies werden wir in der nächsten Spalte tun.

Johann Carl Friedrich Gauß (deutsch, 1777 - 1855) war einer der Formulierer der Magnetismustheorie. Er gilt neben Newton und Archimedes als einer der drei größten Mathematiker aller Zeiten. Um über einen berühmten Satz nachzudenken, der im Westen als Gauß-Divergenzsatz bekannt ist, werden wir die folgenden Gleichungen intuitiv untersuchen:

òòS D . dS = was

und

òòS G . dS = - M

In Russland ist dieser wichtige Satz als Ostrogradski-Satz bekannt (Mikhail Ostrogradski, 1801-1861). Tatsächlich muss die ausführlichere Geschichte dieses Themas mit der Geschichte von Green's Theorem (George Green, 1793-1841) und Stokes's Theorem (George Gabriel Stokes, 1819-1903) in Verbindung gebracht werden. Der Satz, den Green in England entdeckte, wurde auch von Ostrogradski in Russland entdeckt. Heute fassen wir diese Sätze in einer verallgemeinerten Form zusammen, die Green-Gauss-Stokes-Satz genannt wird, und erwähnen Ostrogradski nicht. Diese Theoreme sind in Mathematik und Physik von außerordentlicher Bedeutung, aber hier wollen wir nur ein wenig über die als Gauß-Divergenz-Theorem bekannte Version nachdenken.

Die erste Gleichung, bekannt als Gaußsches Gesetz, bezieht sich auf eine positive elektrische Ladung. was innerhalb einer geschlossenen Fläche platziert S und der elektrische Fluss, der von ihm ausgeht, durch S.

Die Ladung erzeugt ein elektrisches Feld, das durch einen Vektor dargestellt wird E an jedem Punkt im Raum und insbesondere an jedem Punkt von S. Lassen Sie uns nicht auf mathematische Details zu diesem Feld eingehen, sondern stellen Sie sich vor, dass es einen Vektor gibt E an jedem Punkt im Raum. Diese Idee ist analog zur Idee des Gravitationsfeldes. F. Der einzige Unterschied ist, dass der Vektor E raus aus S an einem Punkt P während F kommt herein S an einem Punkt P.

Die zweite Gleichung bezieht sich auf eine Masse M innerhalb einer geschlossenen Fläche platziert S und die Gravitationsströmung in Richtung M Überqueren dieser Oberfläche. Wir können an die Sonne im Zentrum einer Kugel denken, wobei sich die Erde an einem Punkt auf dieser Kugel befindet. Auf der Erde gibt es immer einen Vektor F imaginär auf die Sonne gerichtet, die die Gravitationskraft ist, die die Sonne auf die Erde ausübt und M es ist die Masse der Sonne. Natürlich stellen wir uns das alles eher aus einer Newtonschen als aus einer Einsteinschen Perspektive vor. Unser Ziel ist es, nur über Symmetrien und Antisymmetrien nachzudenken, die vektoriell verstanden werden können.

In der ersten Gleichung D ist die elektrische Flussdichte an einem Punkt auf der Oberfläche SDies ist die Menge an elektrischem Fluss, die in einem kleinen Stück fließt dS von der Oberfläche S um den Punkt P. Wie schneiden wir eine Fläche? S in vielen kleinen Stücken dS, und wir beabsichtigen, Nummern hinzuzufügen, die mit diesen verknüpft sind dSWir benutzen das SymbolS doppelte Summe über S. In der Praxis kann diese Summe in zwei Teilsummen aufgeteilt werden, eine für jede Flächendimension. In ähnlicher Weise werden wir im Folgenden das Symbol òòò verwendenS um anzuzeigen, dass in der Praxis die Summe der mit dV´s können in drei Teilsummen aufgeteilt werden, eine für jede Raumdimension. Tatsächlich könnten wir einfach das Symbol verwendenS der Summe über S in beiden Fällen, weil wir nicht auf die technischen Details jeder Summe eingehen werden.

In der zweiten Gleichung können wir uns vorstellen G als die Gravitationsflussdichte an einem Punkt in der Erdumlaufbahn. Diese Umlaufbahn ist eine Ellipse, die wir uns als Linie auf einem imaginären Ellipsoid vorstellen können. Es wird keinen Verlust an Verständnis geben, wenn wir annehmen, dass dieses Ellipsoid eine Kugel ist. In einem kleinen Stück Ellipsoid um die Erde fließt eine gewisse Menge Schwerkraft, die mit der Kraft zusammenhängt F, wegen der Masse MDie Gravitationskraft hängt auch von der Masse der Erde ab, aber wir denken nur an den Gravitationsfluss, der von der Masse erzeugt wird. M und deshalb geht die Masse der Erde nicht in die Menge dieses Flusses ein.

Versuchen wir, die obigen Gleichungen so einfach wie möglich zu analysieren. Nimm das elektrische Gehäuse. Es gibt drei Elemente zu betrachten. Die Oberfläche S, die rechte Seite der Gleichung und die linke Seite.

Die rechte Seite ist sehr einfach: Es ist die Menge an elektrischer Ladung, die in einer geschlossenen Oberfläche enthalten ist. S.

Apropos Oberfläche SLassen Sie uns zunächst seine Rolle in der Gleichung klären. Stellen Sie sich eine Kugel mit Radius vor R, und nutzen Sie die Gelegenheit, um in Ihre Mitte zu stellen C eine elektrische Ladung was. Angenommen, das was Seien Sie positiv, um die Idee eines elektrischen Flusses zu definieren, der von ihm ausgeht. Diese Emanation kommt also aus der Ladung, weil wir sie so definieren, wenn die Ladung positiv ist und durch die Kugel geht. Die Geometrie dieser Situation kann als gerade Linien dargestellt werden, die sich vom Mittelpunkt der Kugel nach außen erstrecken. Wir sagen, dass diese Strömung radial vom Zentrum ausgeht C aus der Sphäre. Diese Oberfläche umfasst einen Raum, den wir als fest bezeichnen werden B von der Oberfläche umwickelt S - In diesem Fall B Es ist eine Kugel.

Mit unserer gegenwärtigen Konzeption des Vektorfeldes können wir versuchen, eine von Gauß 'brillanten Entdeckungen zu verstehen. Die Schlüsselidee, um Ihre Intelligenz im Auge zu behalten, ist die Idee, die sich in jedem Moment ändert dS von der Oberfläche S es fließt ein bisschen dy das geht von der elektrischen Ladung als ein Vektorfeld aus, und daher gibt es eine Flussdichte D = dy/ dS an jedem Punkt von S.

Um diese Dichte mathematisch zu meistern, fehlt jedoch eines. An jedem Punkt von S Der Fluss kann als Pfeil betrachtet werden, der nach außen zeigt S in eine bestimmte Richtung. Da diese Richtungen im Allgemeinen unterschiedlich sind, müssen wir diesem Unterschied eine mathematische Form geben. Das nehmen wir dann an einem Punkt an P von Sist die Größe des Pfeils D = dy/ dS und seine Richtung wird impliziert, wenn wir schreiben D.

Es ist einfacher, diese Argumentation für die Oberfläche zu wiederholen. S. Der einheitliche Vektor u senkrecht zu S in P Es ist äußerst nützlich. Zum Beispiel können wir das kleine Stück beschreiben dS von S als ein Vektor, dessen Richtung senkrecht zu ist S in P und dessen Größe ist die Fläche dS. Hier ist ein Trick: Wir verwenden die Länge eines Vektors, um eine Fläche darzustellen. Wir werden sagen, dass das oberflächliche Element von S in P ist der infinitesimale Vektor dS = dS u.

In ähnlicher Weise können wir uns den Flussdichtevektor vorstellen D in P. Wir müssen uns nur daran erinnern, dass die Richtung von D ist nicht unbedingt senkrecht zu S. Lassen Sie uns diesen Vektor etwas näher erläutern.

Verwenden wir eine Grundidee, die mit der Idee des Flusses verbunden ist. Es ist die Idee, dass der Fluss Teil dy das geht durch S ist der senkrechte Teil davon die S in P.

Wie gehen wir mathematisch mit dieser Grundidee über den Fluss um? S? Wir haben bereits die mathematischen Elemente zur Verfügung, die diese Frage leicht lösen. Betrachten Sie das Produkt einfach als maßstabsgetreu D . dS. Diese Nummer gibt uns D . dS = |D| . |dS| . cos was = |dy/ dS| . dS . cos was = |dy| . cos was Das ist die absolute Durchflussmenge am Punkt P cos-faktor was aufgrund der Steigung, mit der die Strömung an dieser Stelle auf die Oberfläche auftrifft. Also die Menge an Fluss, die durchläuft S é D . dS = |dy| . cos was.

Beachten Sie, dass die Strömung an einem Punkt umso stärker geneigt ist Pdas heißt, je näher an einer Richtung parallel zur Oberfläche an P, der Null am nächsten ist, ist sein Teil, der ihn durchquert Pweil cos 90die = 0! Andererseits, wenn die Strömung senkrecht zu ist S in P er ist max weil cos 0die = 1! Deshalb haben wir:

D . dS = |D| . |dS| . cos 90die = |dy/ dS| . dS . 0 = 0

für den Fall, dass die Strömung parallel zu ist S in P und deshalb kreuzt es nicht, und

D . dS = |D| . |dS| . cos 0die = |dy / dS| . dS . 1 = |dy|.

in dem Fall, dass die Strömung senkrecht zu ist S in P und damit alles was reinkommt P Kreuze S in vollem Umfang.

Zwischen diesen beiden Extremen liegt eine mittlere Durchflussmengedy| . cos was überqueren S in P.

Somit löst die Mathematik leicht diese Situation von großer physikalischer Bedeutung und benötigt nur den Begriff des Vektors und des Skalarprodukts der Vektoren.

Wir haben sofort das erste Glied der berühmten Gauß-Gleichung interpretiert. Stellen Sie sich die Summe aller Fließbits | vordy| . cos was in vielen Punkten P verstreut auf der ganzen Oberfläche S Ein Punkt hat immer viele andere, die ihm sehr nahe stehen. An jedem Punkt P der Winkel was hat einen Wert, der nur von abhängt P. Der gesamte Durchfluss, der durchläuft S ist die Summe dieser infinitesimalen Flüsse:

strömen aus was und Kreuze S = yS = òòS |dy| . cos was = òòS D . dS.

Wir würden dann gerne wissen, wie viel diese Summe ist. Im Falle der Kugel S Radius R mit einer Last was zentral gelegen C von SGauß berechnete diese Summe und erhielt den Wert was! Das ist:

strömen aus was und Kreuze S = yS = òòS |dy| . cos was = òS D . dS = was.

Im Gravitationsfall haben wir:

Gravitationsfluss, der adressiert M und Kreuze S = yS = òòS |dy| . cos was = òòS G . dS = - M.

Maxwell zeigte, dass die elektrische Ladungsdichte r = dq / dV an einem Punkt Pdas Verhältnis zwischen der infinitesimalen Menge elektrischer Ladung dqin einem infinitesimalen Volumen enthalten dVund die Lautstärke dVist die Divergenz der Dichte D.

Dh

div D = r.

Das Divergierende ist eine Art Derivat. Er arbeitet in D nehmen ihre partiellen Ableitungen und ihre Summe. Diese Gleichheit ist eine der berühmtesten Gleichungen von Maxwell.

Stellen Sie sich also die Ladung vor was nicht mehr in der Mitte der Kugel konzentriert Saber verteilt über die Kugel, die die Kugel hat S wie eine Muschel. In einem kleinen Stück dV vom Volumen der Kugel gibt es eine kleine Belastung dq. Wie die Ladungsdichte r ist gegeben durch

r = dq/dV

wir haben natürlich:

was = òòòV dq = òòòV r dV.

Nehmen wir also an, dass die Berechnung nach Gauß auch in dieser Belastungssituation gilt was durch den Feststoff verteilt B in kleinen Stücken dqNach dem Gaußschen Gesetz können wir daraus schließen

òòS D . dS = was = òòòV dq = òòòV r dV = òòòV div D dV.

Wird auf den Gravitationsfluss angewendet, wobei die Dichte in diesem Fall zu beachten ist r ist die Masse von r = dM / dVund div G = -r (Stellen Sie sich dieses negative Vorzeichen als Hinweis darauf vor, dass der Durchfluss zur Masse fließt M diese Überlegung gibt uns:

òòS G . dS = - M = -òòòV dM = òòòV (-r) dV = òòòV div G dV.

Wir könnten also über zwei Beispiele des berühmten Ergebnisses nachdenken, das im Westen als Gauß-Divergenzsatz für eine Flussdichte bekannt ist. D

òòS D . dS = òòòV div D dV,

aber mit den Augen derer gesehen, die nach Maxwell leben. Sowohl das Gaußsche Gesetz als auch Maxwells Ansatz sind direkte Konsequenzen eines Standpunkts, der versucht, Symmetrien und Antisymmetrien in der Natur und Mathematik sowie die Analogien zwischen ihnen zu untersuchen.

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