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Symmetrie in der Mathematik III


Studieren ohne nachzudenken ist verlorene Arbeit; Denken ohne Studium ist gefährlich.

Verwirrung (551-479 v. Chr.), Analecta.

… “Es ist interessant, dass eine algebraische Struktur unseren Wunsch erfüllt, alle Polynomgleichungen symmetrisch zu lösen, aber wozu dienen all diese Elukubulationen?”.

Der Trick zur Lösung der Gleichung x2 + 1 = 0 sollte sich eine zweite Zahlenreihe vorstellen, die auf einer euklidischen Ebene senkrecht zur reellen Zahlenreihe dargestellt werden kann. Diese zweite Zeile enthält die imaginären Zahlen (ein Name, der in der Geschichte gewählt wurde, weil der Grund für die Existenz dieser Zahlen lange Zeit ein Rätsel war)…, -3ich, -2ich, -ich, 0, ich, 2ich, 3ichSind die Vielfachen der imaginären Einheit ich. Dies sind jedoch nicht die einzigen Vielfachen von ich. Jede reelle Zahl kann mit multipliziert werden ich. Zum Beispiel p ich ist ein Vielfaches von ichoder doch Ö 2 ich, die Quadratwurzel von 2 mal ich. In dieser zusätzlichen Linie senkrecht zur Linie der reellen Zahlen in der euklidischen Ebene liegen alle reinen imaginären Zahlen. Das heißt, die Zahlen, die erfunden wurden, um die Gleichung zu lösen x2 + a = 0 wo die ist eine positive reelle Zahl. Da wir möchten, dass diese Zeile der tatsächlichen Zeile, die wir bereits kannten, sehr ähnlich ist, muss sie genau eine Kopie der vorherigen enthalten. Wir können diese Kopie sehr leicht verstehen: Stellen Sie sich vor, dass die 1 der realen Linie durch die imaginäre Einheit ersetzt wird ich. Okay, stell dir jetzt einfach eine reelle Zahl vor die jede und Ihre imaginäre Kopie die ich. In algebraischen Begriffen, wenn wir multiplizieren die ich vonb ichwir bekommen (die ich) (b ich) = ab ich2 = - ab. Was die Summe von zwei reinen Imaginären anbelangt, so haben wir leicht durch Nachahmung der realen Summe: die i + b ich = (die + b) ich. Somit haben wir eine perfekte Symmetrie zwischen der realen Linie und der imaginären Linie. Beachten Sie, dass das Wort "imaginär" nur eine Ausdrucksweise ist, da die imaginäre Linie wirklich nichts Imaginäres ist, da es sich um eine einfache Linie senkrecht zur realen Linie handelt, die uns in der euklidischen Geometrie bereits vertraut war.

Gut, aber was ist mit den anderen Punkten des euklidischen Plans? Zur Zeit verwenden wir nur zwei senkrechte Linien von der euklidischen Ebene. Was tun mit den anderen Punkten dieses Plans? Nun, die natürliche Frage, die sich hier stellt, ist: Können wir etwas mit ihnen anfangen? Warum versuchen Sie nicht, mit ihnen dasselbe zu tun, was wir mit reellen Zahlen tun, wie Addieren, Multiplizieren, Dividieren, Berechnen von Potenzen, Extrahieren ihrer Quadrate, Kubikwurzeln usw.? Wir haben einen ausgezeichneten Leitfaden, der die Algebra-Struktur von reellen Zahlen darstellt, und wir können versuchen, alles, was in dieser Struktur vor sich geht, auf komplexe Zahlen zu übertragen, dh auf die Punkte der Ebene. Bevor wir uns auf dieses Abenteuer einlassen, wollen wir uns an die grundlegenden Eigenschaften der Struktur reeller Zahlen erinnern. Die Nachahmung von reellen Zahlen ist die einzige Möglichkeit, mit der Struktur von imaginären oder komplexen Zahlen Erfolg zu haben.

Reelle Zahlen haben eine Körperstruktur. Was ist ein Körper? Es ist eine Reihe von Symbolen, die nach bestimmten Regeln manipuliert werden können. Es gibt nur zwei Operationen: eine "+" - Addition und eine "'" - Multiplikation. Symbole können als Punkte einer euklidischen Linie betrachtet werden. Es gibt zwei spezielle Symbole: 0 und 1. Tatsächlich funktioniert 0 zusätzlich als 1 bei der Multiplikation, dh wir haben eine nahezu perfekte Symmetrie des Verhaltens dieser beiden Symbole. Wir sagen "zwei", aber das wissen wir noch nicht. Das heißt, wir haben noch nicht diskutiert, warum sie unterschiedlich sind. Dies ist eine sehr interessante Grundidee der Mathematik. Warum muss 0 von 1 verschieden sein? Tatsächlich gibt es dafür keinen Grund. Ansonsten sehen wir mal: Wenn 0 gleich 1 ist, dann ist 2 = 1 + 1 = 0 + 0 = 0, das heißt, es werden keine neuen Zahlen erzeugt, indem Einheit 1 zu sich selbst hinzugefügt wird! Dies führt dazu, dass die von 1 erzeugte Struktur, die gleich 0 ist, zusammenfällt und eine Menge von nur einem einzelnen Symbol {0} = {1} bildet. Was tun mit einem Satz von nur einem Symbol? Es wird höchstens ein Universum von nur einem Objekt modelliert ...! Daher besteht kein Widerspruch bei der Identifizierung von 0 mit 1. Der einzige Nachteil ist, dass die in diesem Fall erzeugte Struktur nicht lustig ist. Mathematiker würden sagen:Es ist eine uninteressante Struktur" Uninteressant, weil es keine Muster gibt, die entdeckt und untersucht werden könnten. Die Symmetrie ist total. Wenn die Symmetrie einer Struktur total oder zu perfekt ist, können wir nichts darin entdecken. Es ist, als würde man sich einen Kreis vorstellen und ihn aus einem 45-Grad-Winkel drehen: Welcher Unterschied besteht zwischen den beiden? Keine Aber wenn Sie ein Quadrat aus einem Winkel von 45 Grad drehen, welcher Unterschied besteht zwischen den beiden? Nun sehen wir einen Diamanten (der in diesem Fall immer noch ein Quadrat ist, aber das visuelle Gefühl ist völlig anders)…! Dies ist der Schlüssel zum Verständnis, warum die "Idee des Symmetriebrechens" in der Physik seit 50 Jahren so erfolgreich ist. Die vom Menschen wahrgenommene Realität scheint "eine gebrochene Symmetrie" zu sein. Eine große Frage ist daher, wo sich die verborgene Symmetrie befindet. Wir können die "kollabierte Struktur 0 = 1" als perfekte Gesamtsymmetrie betrachten. Die Hauptfolge davon ist, dass wir an nichts anderes denken können. Es gibt nichts zu bemerken, nichts zu fragen, keine Hinweise auf interessante Muster. Das einzige Muster ist eine langweilige Operation die + die = 0 = die ' die = 0 = 1 + 1 = 1 = 0 + 0 = 0 ' 1 = 1 ' 1 = 1 = 0 = die. Das heißt, es gibt keine Realität, es gibt nichts als einen Punkt 0 = 1, und diesem Punkt entgeht nichts, und diesem Punkt passiert nichts Interessantes.

Eine Möglichkeit, dieser Flaute zu entkommen, besteht darin, sich ein Universum vorzustellen, in dem 1 nicht 0 ist. Allein diese "unschuldige Hypothese" gibt uns plötzlich einen Wirbelwind von Möglichkeiten. Die erste Frage ist natürlich: Wenn 1 nicht 0 ist, wie viel ist dann 1 + 1? Sofort geraten wir in eine sehr reiche Situation, in der Hinweise auf interessante Muster auftauchen, aber Unsicherheiten hinsichtlich der möglichen Strukturen bestehen bleiben. Das heißt, wir müssen entscheiden, welche Möglichkeit wir untersuchen werden. Welchem ​​Anhaltspunkt, um eine Realität zu finden, werden wir folgen. Um diese Forschung fortzusetzen, müssen wir die Frage beantworten: Unterscheidet sich 1 + 1 von 1? Wir können unser Denken auf einfache Weise organisieren, indem wir argumentieren, dass nur zwei Symbole, 0 und 1, unser Universum bevölkern. Daher ist es entscheidend, zu entscheiden, ob 1 + 1 eine neue Einheit ist. Darüber hinaus gilt die gleiche Frage für die Fälle 0 + 1, 0 '1, 1' 1, 0 '0 und 0 + 0: Werden auch hier neue generiert? Ein Körper ist eine Struktur mit zwei Operationen, Addition und Multiplikation, deren neutrale Elemente 0 und 1 bestimmte Eigenschaften erfüllen. Durch die Vorstellung von 0 und 1 als neutrale Elemente haben wir bereits die Hälfte des vorherigen Problems gelöst. Das heißt, die Fragen werden automatisch gelöst: 1 '1 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, 1' 0 = 0. Beachten Sie nur, dass 0 und 1 die neutralen Elemente der Addition bzw. der Multiplikation. Zum Beispiel ist 1 '0 = 0, da 1 das neutrale Element der Multiplikation ist, was keinen Einfluss auf die Zahl hat, mit der multipliziert wird. Symmetrisch ist 0 + 1 = 1, da 0 zusätzlich neutral ist. Das Problem, ob 1 + 1 von 1 verschieden ist, ist viel packender. Wir haben in den vorhergehenden Spalten die Fälle besprochen, in denen 1 +… + 1 0 sein kann. Dies sind die endlichen Zahlenstrukturen. Wir beginnen nun die Diskussion des Falls, in dem 1 +… + 1 niemals 0 ist, unabhängig von der Anzahl der Diagramme in dieser Summe, dh des Falls des realen Körpers.

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Video: Symmetrie, Funktionen, rechnerischer Ablauf, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie. Mathe by Daniel Jung (November 2020).