Kommentare

Algebra-Geschichte (Ein Überblick)


Quelle: Mathematik Geschichte Themen - John K. Baumgart

Merkwürdig und faszinierend ist der Ursprung des Wortes "Algebra". Es unterliegt keiner klaren Etymologie wie dem Wort "Arithmetik", das sich vom Griechischen ableitet arithmos ("Nummer"). Algebra ist eine lateinische Variante des arabischen Wortes al-jabr (manchmal transliteriert al-jebr), verwendet im Titel eines Buches, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, geschrieben in Bagdad um das Jahr 825 vom arabischen Mathematiker Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Mohammed, Sohn von Moses von Khowarizm). Diese Arbeit der Algebra wird oft abgekürzt als Al-Jabr.

Eine wörtliche Übersetzung des vollständigen Titels des Buches lautet "Wissenschaft der Wiederherstellung (oder Wiedervereinigung) und Reduktion", aber mathematisch wäre es besser, "Wissenschaft der Umsetzung und Aufhebung" - oder nach Boher "die Umsetzung subtrahierter Begriffe auf das andere Mitglied des Buches. Gleichung "und" die Aufhebung von ähnlichen (gleichen) Begriffen in entgegengesetzten Gliedern der Gleichung ". Also, gegeben die Gleichung:

x2 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5x3
Al-Jabr bietet
x2 + 7x + 4 = 4 + 5x3
und al-Muqabalah bietet
x2 + 7x = 5x3
Vielleicht war die beste Übersetzung einfach "die Wissenschaft der Gleichungen".
Obwohl sich "Algebra" ursprünglich auf Gleichungen bezieht, hat das Wort heute eine viel breitere Bedeutung, und eine zufriedenstellende Definition erfordert einen zweiphasigen Ansatz:
(1) Antike (Elementar-) Algebra ist das Studium von Gleichungen und Methoden zu deren Lösung.
(2) Moderne (abstrakte) Algebra ist das Studium mathematischer Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper - um nur einige zu nennen.
In der Tat ist es zweckmäßig, die Entwicklung der Algebra in Bezug auf diese beiden Phasen zu verfolgen, da die Unterteilung sowohl chronologisch als auch konzeptuell ist.

Algebraische Gleichungen und Notation

Die antike (Elementar-) Phase, die den Zeitraum von 1700 v. Chr. Bis etwa 1700 n. Chr. Abdeckt, wurde durch die schrittweise Erfindung der Symbolik und die Auflösung von Gleichungen (im Allgemeinen numerische Koeffizienten) mit verschiedenen Methoden charakterisiert, wobei bis zur Auflösung nur geringe Fortschritte zu verzeichnen waren. "General" von kubischen und quartischen Gleichungen und die inspirierte Behandlung von Polynomgleichungen im Allgemeinen von François Viète, auch bekannt als Vieta (1540-1603).

Die Entwicklung der algebraischen Notation hat sich in drei Phasen entwickelt: die Rhetorik (oder mündlich), die synkopiert (in welchem ​​Wort Abkürzungen verwendet wurden) und symbolisch. In der letzten Phase wurde die Notation mehrfach modifiziert und geändert, bis sie zur Zeit von Isaac Newton einigermaßen stabil wurde. Interessanterweise gibt es auch heute noch keine vollständige Einheitlichkeit bei der Verwendung von Symbolen. Zum Beispiel schreiben Amerikaner "3.1416" als Annäherung an Piund viele Europäer schreiben "3.1416". In einigen europäischen Ländern bedeutet das Symbol "÷" "Minus". Da die Algebra wahrscheinlich aus Babylon stammt, erscheint es angebracht, den rhetorischen Stil anhand eines Beispiels aus dieser Region zu veranschaulichen. Das folgende Problem zeigt den relativen Verfeinerungsgrad der babylonischen Algebra. Dies ist ein typisches Beispiel für Probleme, die beim Schreiben von Keilschrift auf Tontafeln aus der Zeit von König Hammurabi auftreten. Die Erklärung erfolgt natürlich auf Portugiesisch; und indo-arabische Dezimalschreibweise wird anstelle der keilförmigen Sexagesimalschreibweise verwendet. Die rechte Spalte enthält die entsprechenden Passagen in moderner Notation. Hier ist das Beispiel:

1 Länge, Breite. Ich multiplizierte Länge mit Breite und erhielt so die Fläche: 252. Ich addierte Länge und Breite: 32. Man fragt: Länge und Breite.

2 32 Summe gegeben; 252 Bereich.x + y = k

xy = P}… (A)

3 Antwort 18 Länge; 14 Breite.
4 Gehen Sie folgendermaßen vor: Nehmen Sie die Hälfte von 32, also 16.k / 2
16 x 16 = 256(k / 2)2
256 - 252 = 4(k / 2)2 - P = t2 }… (B)
Die Quadratwurzel von 4 ist 2.
16 + 2 = 18 Länge.(k / 2) + t = x.
16-2 = 14 Breite(k / 2) - t = y.
5 Beweis Ich multiplizierte 18 Länge mit 14 Breite.

18 x 14 = 252 Fläche

((k / 2) + t) ((k / 2) -t)

= (k2/ 4) - t2 = P = xy.

Beachten Sie, dass in Schritt 1 das Problem formuliert wird, in 2 die Daten dargestellt werden, in 3 die Antwort gegeben wird und in 4 die Lösungsmethode erläutert wird. mit zahlen und schließlich um 5 wird die Antwort getestet.

Das obige "Rezept" wird wiederholt für ähnliche Probleme verwendet. Es hat aus mehreren Gründen historische Bedeutung und aktuelles Interesse.

Fährt nach der Werbung fort

Erstens ist dies nicht die Art und Weise, wie wir das heutige System lösen würden (A). Das Standardverfahren in aktuellen Algebra-Schultexten besteht darin, zum Beispiel die erste Gleichung für zu lösen y (in Bezug auf x), ersetzen Sie in der zweiten Gleichung und lösen Sie die resultierende quadratische Gleichung in x; das heißt, wir würden die Substitutionsmethode verwenden. Die Babylonier wussten auch, wie man Systeme durch Substitution löst, zogen es jedoch oft vor, ihre parametrische Methode anzuwenden. Das heißt, mit der modernen Notation konzipiert sie x und y in Bezug auf einen neuen unbekannten (oder Parameter) t zu tun x = (k / 2) + t und y = (k / 2) -t.

Dann ist das Produkt:

xy = ((k / 2) + t) ((k / 2) - t) = (k / 2)2 - t2 = P

führte sie zur Beziehung (B):

(k / 2)2 - P = t2

Zweitens hat das obige Problem historische Bedeutung, da die griechische (geometrische) Algebra der Pythagoreer und Euklider der gleichen Lösungsmethode folgte - jedoch in Liniensegmenten und Flächen übersetzt und durch geometrische Figuren veranschaulicht. Einige Jahrhunderte später verwendete auch ein anderer Grieche, Diophantus, den parametrischen Ansatz in seiner Arbeit mit "diophantinischen" Gleichungen. Er begann die moderne Symbolik mit der Einführung von Wortabkürzungen und der Vermeidung des etwas komplizierten Stils der geometrischen Algebra.

Drittens haben arabische Mathematiker (einschließlich al-Khowarizmi) die im obigen Problem angewandte Methode nicht angewendet. Sie zogen es vor, eines der Unbekannten durch Substitution zu eliminieren und alles in Worten und Zahlen auszudrücken.

Bevor wir die babylonische Algebra verlassen, möchten wir darauf hinweisen, dass sie eine überraschende Vielfalt von Gleichungen lösen konnten, einschließlich bestimmter spezieller Arten von Kubiken und Quartalen - natürlich alle mit numerischen Koeffizienten.

Algebra in Ägypten

Die Algebra entstand in Ägypten ungefähr zur gleichen Zeit wie in Babylon. In der ägyptischen Algebra fehlten jedoch die ausgeklügelten Methoden der babylonischen Algebra sowie die Vielzahl der gelösten Gleichungen, die nach Papyrus Moskau und Papyrus Rhind - ägyptischen Dokumenten aus der Zeit um 1850 v.Chr. bzw. 1650 v.Chr eine frühere Periode. Für lineare Gleichungen verwendeten die Ägypter eine Auflösungsmethode, die aus einer anfänglichen Schätzung und einer abschließenden Korrektur bestand - eine Methode, nach der die Europäer sie später als eine abstruse "falsche Positionsregel" bezeichneten. Die Algebra Ägyptens war wie die von Babylon rhetorisch.

Das im Vergleich zu den Babyloniern relativ primitive ägyptische Nummerierungssystem erklärt die mangelnde Raffinesse der ägyptischen Algebra. Europäische Mathematiker des 16. Jahrhunderts mussten den indo-arabischen Zahlenbegriff erweitern, bevor sie die babylonischen Ergebnisse der Gleichungslösung signifikant übertreffen konnten.

Griechische geometrische Algebra

Die griechische Algebra, wie sie von den Pythagoräern und Eukliden formuliert wurde, war geometrisch. Zum Beispiel, was wir schreiben als:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

wurde von den Griechen in Anlehnung an das in Abbildung 1 dargestellte Diagramm konzipiert und von Euklid in seltsamer Weise angegeben Elemente, Buch II, Satz 4:

Wenn eine gerade Linie in zwei Teile geteilt wird, entspricht das Quadrat über der gesamten Linie den Quadraten über den beiden Teilen zusammen mit dem doppelten Rechteck, das die Teile enthalten. Das ist (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Wir sind versucht zu sagen, dass für die Griechen zu Euklids Zeiten die2 Es war wirklich ein Quadrat.

Es besteht kein Zweifel, dass die Pythagoräer die babylonische Algebra gut kannten und tatsächlich den babylonischen Gleichungslösungsmethoden folgten. Euklid hat diese pythagoreischen Ergebnisse aufgezeichnet. Um dies zu veranschaulichen, haben wir den Satz gewählt, der dem oben betrachteten babylonischen Problem entspricht.

Aus Buch VI von Elementehaben wir Satz 28 (eine vereinfachte Version):

Bei einer geraden Linie AB das heißt, x + y = k, Bilden Sie entlang dieser Linie ein Rechteck mit einer bestimmten Fläche xy = Punter der Annahme, dass das Rechteck in AB um einen Betrag "unterschritten" wird, der von einem anderen Rechteck "ausgefüllt" wird das Quadrat BF in Abbildung 2, ähnlich einem gegebenen Rechteck was wir hier zugeben, jedes Quadrat zu sein.

Bei der Lösung dieser gewünschten Konstruktion (Abb. 2) ist Euklids Arbeit fast genau parallel zur babylonischen Lösung des äquivalenten Problems. Wie von T. L. Heath / EUCLID: II, 263 / angegeben, sind die Schritte wie folgt:

Bisecte AB in M:k / 2
Bauen Sie das Quadrat MBCD:(k / 2)2
Konstruieren Sie mit VI, 25 das DEFG-Quadrat mit einer Fläche, die dem MBCD-Überschuss über der gegebenen Fläche P entspricht:t2 = (k / 2)2 - P
Also natürlichy = (k / 2) - t

Wie so oft überließ Euklid den anderen Fall dem Schüler - in diesem Fall x = (k / 2) + t, was Euklid zwar realisierte, aber nicht formulierte.

Es ist in der Tat bemerkenswert, dass die meisten babylonischen Standardprobleme auf diese Weise von Euklid "überarbeitet" wurden. Aber warum? Was veranlasste die Griechen, ihrer Algebra diese unangenehme Formulierung zu geben? Die Antwort ist einfach: Sie hatten konzeptionelle Schwierigkeiten mit irrationalen Brüchen und Zahlen.

Selbst wenn griechische Mathematiker Bruchteile umgehen konnten, indem sie sie als ganzzahlige Verhältnisse behandelten, hatten sie unüberwindliche Schwierigkeiten mit Zahlen wie beispielsweise der Quadratwurzel von 2. Wir erinnern uns an den "logischen Skandal" der Pythagoreer, als sie herausfanden, dass die Diagonale eines Einheitsquadrats nicht mit der Seite übereinstimmt (dh diag / side unterscheidet sich vom Verhältnis zweier ganzer Zahlen).

Daher war es ihre strenge mathematische Genauigkeit, die sie zwang, eine Reihe von Liniensegmenten als geeignete Domäne von Elementen zu verwenden. Für obwohl Quadratwurzel von 2 kann nicht durch ganze Zahlen oder deren Verhältnisse ausgedrückt werden, sondern kann als ein Liniensegment dargestellt werden, das genau die Diagonale des Einheitsquadrats ist. Vielleicht ist es nicht nur ein Scherz zu sagen, dass das lineare Kontinuum buchstäblich linear war.

Fährt nach der Werbung fort

Nebenbei sei Apollonius (ca. 225 v. Chr.) Erwähnt, der geometrische Methoden zur Untersuchung von Kegelschnitten anwendete. In der Tat, seine großartige Abhandlung Konische Abschnitte Es enthält mehr analytische konische Geometrie - alles in geometrischer Terminologie formuliert - als die heutigen Universitätskurse.

Die griechische Mathematik kam plötzlich zum Erliegen. Die römische Besatzung hatte begonnen und die Mathematik nicht gefördert, auch wenn sie einige andere Zweige der griechischen Kultur anregte. Aufgrund des schweren Stils der geometrischen Algebra konnte sie nur in schriftlicher Überlieferung überleben; Ich brauchte ein lebendiges, mündliches Medium. Es war möglich, dem Ideenfluss zu folgen, solange ein Ausbilder auf Diagramme zeigte und erklärte; Aber die direkten Schulen überlebten nicht.

Algebra in Europa

Die Algebra, die nach Europa gelangte (über Liber abaci de Fibonacci und Übersetzungen), war sowohl stilistisch als auch inhaltlich rückläufig. Diophantus und Brahmaguptas Semisymbolik (Synkopen) und ihre relativ fortgeschrittenen Errungenschaften sollten nicht zu einem möglichen Ausbruch der Algebra beitragen.

Die Renaissance und die rasche Blüte der Algebra in Europa waren auf folgende Faktoren zurückzuführen:

  1. Einfache Manipulation numerischer Werke durch das indo-arabische Nummerierungssystem, das Systemen (wie Roman), die die Verwendung von Abakus erfordern, weit überlegen ist.

  2. Erfindung der beweglichen Presse, die die Vereinheitlichung der Symbolik beschleunigte, indem sie die Kommunikation auf der Grundlage einer weitverbreiteten Verbreitung verbesserte;

  3. Wiederaufleben der Wirtschaft, Aufrechterhaltung der geistigen Aktivität; und die Wiederaufnahme des Handels und des Reisens, was den Austausch von Ideen und Gütern erleichtert.

In Italien entstanden zum ersten Mal wirtschaftlich starke Städte, und hier begann die algebraische Renaissance in Europa.

Weiter: Wirtschafts- und Finanzmathematikgeschichte <