Im Detail

Ableitungen von inversen trigonometrischen Funktionen


Ein häufiges Problem bei der Trigonometrie besteht darin, einen Winkel zu finden, dessen Triggerfunktionen bekannt sind.

Probleme dieser Art beinhalten die Berechnung von Bogenfunktionenwie Arcsen xArccos xarctg xund so weiter. Betrachten Sie diese Idee aus Sicht der inversen Funktionen mit dem Ziel, abgeleitete Formeln für inverse trigonometrische Funktionen zu entwickeln.

Identitäten für inverse trigonometrische Funktionen

Wenn wir interpretieren x als Winkel gemessen im Bogenmaß dessen Sinus ist xund wenn dieser Winkel ist nicht negativ, dann können wir darstellen x als Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, wobei die Hypotenuse die Länge 1 und die dem Winkel von entgegengesetzte Seite hat hat Länge x (Abbildung a). Nach dem Satz von Pythagoras die dem Winkel benachbarte Seite hat Länge .

Außerdem ist der Winkel entgegengesetzt zu é , da der Cosinus dieses Winkels ist x (Abbildung b). Dieses Dreieck motiviert mehrere nützliche Identitäten, einschließlich trigonometrischer Funktionen, die für gültig sind . Zum Beispiel:

Ebenso x und x kann mit den Winkeln der in gezeigten rechtwinkligen Dreiecke dargestellt werden Abbildung c und d. Diese Dreiecke enthüllen nützlichere Identitäten wie:


HINWEIS Durch das Auswendiglernen dieser Identitäten wird nichts erreicht. Wichtig ist, das zu verstehen Methode verwendet, um sie zu bekommen.

Beispiel

Die Figur unten zeigt ein computergeneriertes Diagramm von y = (sen x). Sie könnten denken, dass dieses Diagramm die gerade Linie sein sollte y = xseit (sen x) = x. Warum passiert das nicht?

Lösung. Die Beziehung (sen x) = x ist im Bereich gültig ; Bald können wir mit Sicherheit sagen, dass die Grafiken von y = (sen x) und y = x in diesem Bereich zusammenfallen. Außerhalb dieses Bereichs besteht jedoch die Beziehung (sen x) = x Es muss nicht gültig sein. Zum Beispiel, wenn Sie im Bereich sind , dann die menge x - wird in Reichweite sein . Also

Mit der Identität sen (x-) = -sen x und die Tatsache, dass Es ist eine seltsame Funktion, die wir ausdrücken können (sen x) als

Dies zeigt, dass im Bereich , der Graph von y = (sen x) fällt mit der Linie zusammen y = -(x-), die Steigung -1 und einen Achsenabschnitt hat x in x = , die in Übereinstimmung mit ist die Figur.

Ableitungsformel

Denken Sie daran, wenn f ist eine Eins-zu-Eins-Funktion, deren Ableitung bekannt ist. Es gibt also zwei grundlegende Möglichkeiten, eine Ableitungsformel für zu erhalten (x) können wir die Gleichung umschreiben y = (x) als x = f(y) und implizit differenzieren. Wir werden implizite Differenzierung verwenden, um die Ableitungsformel für zu erhalten y = x. Umschreiben dieser Gleichung als x = sen y und implizit differenzieren wir bekommen

Diese abgeleitete Formel kann durch Anwenden der Formel vereinfacht werden , die aus dem Dreieck der Figur abgeleitet wurde, ergibt:

So zeigen wir das

Wenn u ist eine differenzierbare Funktion von xdann und die Kettenregel erzeugen die folgende verallgemeinerte Ableitungsformel

Das Verfahren zum Erhalten dieser Formel kann auch verwendet werden, um verallgemeinerte Ableitungsformeln für andere inverse Triggerfunktionen zu erhalten. Diese Formeln gelten für -1 < u <1, sind

Nächster Inhalt: Serien und Sequenzen


Video: Arcus Sinus, Ableitung, Herleitung, Trigonometrische Funktionen, arcsinx. Mathe by Daniel Jung (Kann 2021).