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Logarithmische und Exponentialfunktionen


Als im 17. Jahrhundert Logarithmen als Rechenwerkzeug eingeführt wurden, versorgten sie die damaligen Wissenschaftler mit einer unvorstellbaren Rechenleistung.

Obwohl Computer und Taschenrechner die Logarithmen bei numerischen Berechnungen weitgehend abgelöst haben, finden logarithmische und relative Funktionen in Mathematik und Naturwissenschaften breite Anwendung.

Irrationale Exponenten

In der Algebra die ganzzahligen und rationalen Potenzen einer Zahl b sind definiert durch

Wenn b negativ, dann einige der Bruchkräfte von b wird imaginäre Werte haben; zum beispiel . Um diese Komplikation zu vermeiden, nehmen wir das an auch wenn nicht ausdrücklich angegeben.

Beachten Sie, dass die vorstehenden Definitionen keine Befugnisse enthalten unvernünftig von bwie

Es gibt verschiedene Methoden, um irrationale Kräfte zu definieren. Ein Ansatz ist die Definition irrationaler Kräfte von b als eine Grenze der rationalen Kräfte. Zum Beispiel zu definieren wir sollten mit der dezimalen Darstellung von beginnen das heißt

3,1415926

Aus dieser Dezimalstelle können wir eine Folge rationaler Zahlen bilden, die sich immer weiter annähern das heißt

3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159

und daraus können wir eine Kraftfolge bilden rational von 2:

Da die Exponenten der Terme dieser Sequenz zu einer Grenze neigen Es erscheint plausibel, dass die Begriffe selbst zu einer Grenze neigen; deshalb ist es vernünftig als diese Grenze definieren. Der Tisch Das folgende Beispiel zeigt numerisch, dass die Sequenz tatsächlich ein Limit hat und für vier Dezimalstellen der Wert dieses Limits ist 8,8250. Im Allgemeinen für jeden irrationalen Exponenten p und positive Zahl bwir können definieren als die Grenze der rationalen Kräfte von b, erstellt durch die Dezimalerweiterung von p.

Tisch

x
38,000000
3,18,574188
3,148,815241
3,1418,821353
3,14158,824411
3,141598,824962
3,1415928,824974

Die Familie der Exponentialfunktionen

Eine Funktion der Form f (x) = wo b > 0 und b 1 heißt Basisexponentialfunktion b, deren Beispiele sind

f (x) = , f (x) = , f (x) =

Beachten Sie, dass eine Exponentialfunktion eine konstante Basis und einen variablen Exponenten hat. Damit funktioniert wie f (x) = und f (x) = würden nicht als Exponentialfunktionen klassifiziert, da sie eine variable Basis und einen konstanten Exponenten haben.

Es kann gezeigt werden, dass Exponentialfunktionen stetig sind und einen der beiden in gezeigten Grundaspekte haben Abbildung 1abhängig davon, ob 0 < b <1 oder b > 1. Abbildung 2 zeigt Diagramme einiger spezifischer Exponentialfunktionen.

HINWEIS Wenn b = 1, dann die Funktion ist konstant seit = = 1. Dieser Fall liegt hier nicht in unserem Interesse, daher schließen wir ihn aus der Familie der Exponentialfunktionen aus.

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