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Ableitungen logarithmischer Funktionen


Wir werden nun abgeleitete Formeln für die logarithmischen und exponentiellen Funktionen erhalten und die allgemeinen Beziehungen zwischen und die Ableitung einer einzelnen Funktion und ihrer Inversen diskutieren.

Der natürliche Logarithmus spielt im Kalkül eine besondere Rolle, die durch Differenzierung motiviert werden kann wobei b eine beliebige Basis ist. Für diesen Vorschlag wir werden zugeben das ist differenzierbar und daher stetig für x> 0. Wir werden auch das Limit brauchen

Unter Verwendung der Definition der Ableitung erhalten wir (mit x statt v als Variable).

Also

Aber von der Formel haben wir = 1 / 1n b; so können wir diese abgeleitete Formel als umschreiben

In dem speziellen Fall, in dem b = e ist, haben wir = 1n und = 1, so wird diese Formel

Also unter allen möglichen Basen die Basis b = e erzeugt die einfachste abgeleitete Formel für . Dies ist einer der Gründe, warum die natürliche Logarithmusfunktion bei der Berechnung allen Logarithmen vorgezogen wird.

Beispiel 1

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Lösung. Von

Wenn möglich, sollten Logarithmeigenschaften verwendet werden, um Produkte, Quotienten und Exponenten in Summen, Differenzen und Vielfache von Konstanten umzuwandeln, bevor eine Funktion mit Logarithmen unterschieden wird.

Beispiel 2

Weiter: Logarithmische Differenzierung

Video: Ableitung von lnx, Ableiten lnx, Ableitung natürliche Logarithmusfunktion. Mathe by Daniel Jung (Oktober 2020).