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Implizite Differenzierung


Im Allgemeinen ist es nicht erforderlich, eine Gleichung von zu lösen y in Bezug auf xum die durch die Gleichung definierten Funktionen zu unterscheiden. Um dies zu veranschaulichen, betrachten Sie die Gleichung

xy = 1

Ein Weg zu finden dy/dx ist diese Gleichung als umzuschreiben

davon muss man

Es gibt jedoch einen anderen Weg, um dieses Derivat zu erhalten. Wir können beide Seiten von unterscheiden xy = 1 vor der Entscheidung für y in Bezug auf xbehandeln y (vorübergehend nicht näher bezeichnet) eine differenzierbare Funktion von x. Mit diesem Ansatz erhalten wir

Wenn wir jetzt ersetzen im letzten Ausdruck bekommen wir

das ist in Übereinstimmung mit . Diese Methode zum Abrufen von Derivaten wird aufgerufen implizite Differenzierung.

Verwenden Sie implizite Differenzierung, um zu finden dy/dx wenn

Auflösen nach dy/dx wir bekommen

Beachten Sie, dass diese Formel beides beinhaltet x und y. Um eine Formel für zu bekommen dy/dx das beinhaltet nur xWir müssten die ursprüngliche Gleichung zu lösen y in Bezug auf x und dann in ersetzen . Dies ist jedoch unmöglich zu tun; daher sind wir gezwungen, die formel zu verlassen dy/dx in Bezug auf x und y.

Verwenden Sie implizite Differenzierung, um zu finden wenn .

Lösung. Differenziert von beiden Seiten implizit erhält man

das bekommen wir

Unterscheidung beider Seiten von implizit erhält man

Ersetzen innerhalb und einfach ausgedrückt, unter Verwendung der ursprünglichen Gleichung erhalten wir

In Beispiele 1 und 2, die Ergebnisse der Formeln für dy/dx beides einbeziehen x und y. Obwohl es normalerweise wünschenswerter ist, die Formel für zu haben dy/dx ausgedrückt nur in xhaben die Formel in Bezug auf x und y ist kein Hindernis für das Auffinden der Neigungen und Gleichungen der Tangenten, vorausgesetzt, die x und y des Tangentialpunktes sind bekannt.

Weiter: Derivate rationaler Kräfte von x


Video: Implizites Differenzieren: Bedeutung + Herleitung Einfach Erklärt! (September 2021).