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Ableitungen rationaler Potenzen von x


Aus der folgenden Gleichung zeigen wir, dass die Formel

gilt für alle ganzzahligen Werte von nein und für nein = . Wir werden nun implizit differenzieren, um zu zeigen, dass diese Formel für jeden rationalen Exponenten gültig ist. Genauer werden wir zeigen, dass wenn r ist dann eine rationale Zahl

wann immer und gesetzt sind. Im Moment werden wir das ohne Beweise zugeben ist differenzierbar.

Sei y = . Einmal r ist eine rationale Zahl, kann als ganzzahliges Verhältnis ausgedrückt werden r = m / n. Also y = = kann geschrieben werden als

Implizit differenzierend gegenüber x und mit wir bekommen

Auf diese Weise kann es als geschrieben werden

Beispiel

Von

Wenn u ist eine differenzierbare Funktion von x und r Ist eine rationale Zahl, so führt die Kettenregel zu folgender Verallgemeinerung von

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Video: Ableiten, Ableitung mit Wurzel, Bruch durch Umschreiben, Übersicht. Mathe by Daniel Jung (Oktober 2020).