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Logarithmische und Exponentialfunktionen


Bevor wir diese beiden Arten von Funktionen untersuchen, wollen wir verstehen, was inverse Funktionen sind.

Inverse Funktionen

In der allgemeinen Sprache vermittelt der Begriff "Inversion" die Idee einer Umkehrung. Beispielsweise ist in der Meteorologie die Temperaturinversion eine Umkehrung der üblichen Temperatureigenschaften von Luftschichten; In der Musik ist eine Inversion ein wiederkehrendes Thema, bei dem dieselben Noten in umgekehrter Reihenfolge verwendet werden. In der Mathematik der Begriff invers Es wird verwendet, um Funktionen zu beschreiben, die umgekehrt sind, in dem Sinne, dass beide die Wirkung des anderen aufheben.

Die Idee, eine Gleichung zu lösen y = f (x) bis x mit einer Funktion von ysagen wir mal x = g(y) ist eine der wichtigsten Ideen in der Mathematik. Manchmal ist das Lösen dieser Gleichung ein einfacher Vorgang. zum Beispiel mit der Grundalgebra die Gleichung

y = f (x)

kann gelöst werden x als eine Funktion von y:

x = g (y)

Die erste Gleichung ist besser für die Berechnung y wenn x ist bekannt, und die zweite ist besser für die Berechnung x wenn y ist bekannt

Das grundlegende Interesse besteht darin, Beziehungen zu identifizieren, die zwischen den Funktionen bestehen können f und g,wenn eine Funktion y = f(x) wird ausgedrückt als x = g(y) oder umgekehrt. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktionen und oben diskutiert. Wenn Funktionen in einer beliebigen Reihenfolge zusammengestellt werden, hebt eine die Wirkung der anderen auf, was bedeutet, dass

Die erste dieser Gleichungen besagt, dass jede Ausgabe einer Komposition g(f(x)) ist gleich der Eingabe, und die zweite besagt, dass jede Ausgabe der Komposition f(g(y)) ist gleich der Eingabe. Funktionspaare mit diesen beiden Eigenschaften sind so wichtig, dass für sie eine spezifische Terminologie existiert.

Wenn das funktioniert f und g beide Bedingungen erfüllen

g(f(x)) = x für alle x auf dem Gebiet der f

f(g(y)) = y für alle y auf dem Gebiet der g

also sagen wir das f und g sind inverse Funktionen. Wir rufen auch an f eine Umkehrung von g und g ist eine Inverse von f.

Beispiel

Bestätigen Sie die folgenden Punkte.

(a) Die Umkehrung von

(b) Die Umkehrung von

Lösung (a).

Lösung (b).

HINWEIS Das Ergebnis im Beispiel sollte für Sie intuitiv sinnvoll sein, da die Operationen mit 2 multiplizieren und mit multiplizieren In jeder Reihenfolge heben sie den Effekt des jeweils anderen auf, genau wie bei Cube Raise- und Cube Root-Vorgängen.

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