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Domain und Image von inversen Funktionen


Die folgende Gleichung:

(f (x)) = x für alle x auf dem Gebiet der f

f ((x)) = x für alle x auf dem Gebiet der

impliziert bestimmte Beziehungen zwischen den Domänen und den Bildern von f und . Zum Beispiel in der ersten Gleichung die Menge f (x) ist eine Eingabe vonPunkte in den Bildern von f sind in der Domäne von; und in der zweiten Gleichung die Menge(x) ist eine Eingabe von fwo Punkte im Bild von sind in der Domäne von f. All dies legt die folgenden Beziehungen nahe:

Domain von = Bild von f

Bild von = Domain von f

Einmal f und g zwei Bedingungen erfüllen:

  • g(f(x)) = x für alle x auf dem Gebiet der f
  • f(g(y)) = y für alle y auf dem Gebiet der g

Wir schließen daraus, dass sie invers sind. Somit haben wir folgendes Ergebnis.

Wenn eine Gleichung y = f (x) kann gelöst werden x als eine Funktion von ydann f hat eine inverse und die resultierende Gleichung ist x = (y)

Eine Methode zum Finden von Inversen

Beispiel

Finden Sie die Umkehrung von f (x) =

Lösung. Wir können eine Formel für finden (y) Lösen der Gleichung

y =

zu x als eine Funktion von y. Die Berechnungen sind:

davon muss man

Bisher ist es uns gelungen, eine Formel für zu bekommen ; Wir sind jedoch nicht wirklich vollständig, da es keine Garantie dafür gibt, dass die zugehörige natürliche Domäne die vollständige Domäne für ist .

Um festzustellen, ob dies der Fall ist, untersuchen wir das Bild von y = f (x) = . Das Bild besteht aus allem y in der Pause , so ist dieser Bereich auch die Domäne von (y); bald das Gegenteil von f wird durch die Formel gegeben

HINWEIS Wenn eine Formel für wird durch Lösen der Gleichung erhalten y = f(x) bis x als eine Funktion von yhat die resultierende Formel y als unabhängige Variable. Wenn es vorzuziehen ist, zu haben x als unabhängige Variable für Es gibt also zwei Möglichkeiten: Sie können lösen y = f(x) bis x mit einer Funktion von yund dann ersetzen y von x in der Formel ende zu , oder Sie können handeln x und y in der Gleichung original und lösen Sie die Gleichung x = f(y) bis y in Bezug auf x. In diesem Fall lautet die endgültige Gleichung y = (x).

Weiter: Inverse Funktionsdiagramme


Video: How to Find the Domain of Any Function NancyPi (Oktober 2021).