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Inverser Funktionsgraph


Das nächste Ziel ist es, die Beziehungen zwischen Graphen von zu untersuchen f und . Zu diesem Zweck ist es wünschenswert, zu verwenden x als unabhängige Variable für beide Funktionen, dh wir vergleichen die Graphen von y = f(x) und y = (x).

Wenn (a, b) ist ein Punkt in der Grafik y = f(x) dann b = f(die). Dies entspricht der Aussage, dass die = (b) was bedeutet, dass (b, a) ist ein Punkt in der Grafik von y = (x).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Koordinaten eines Punktes auf dem invertiert werden f erzeugt einen Punkt auf dem . In ähnlicher Weise invertieren Sie die Koordinaten eines Punktes in der Grafik von erzeugt einen Punkt auf dem f. Der geometrische Effekt der Umkehrung der Koordinaten eines Punktes besteht jedoch darin, diesen Punkt auf der Linie wiederzugeben. y = x (Abbildung 1) und dann die Grafiken von y = f(x) und y = (x) sind zueinander relativ zu dieser geraden Linie (Abbildung 2). Kurz gesagt, wir haben das folgende Ergebnis.

Wenn f habe ein inversdann die Graphen von y = f (x) und y = (x) sind Reflexionen voneinander in Bezug auf die Gerade y = x; das heißt, jeder ist das Spiegelbild des anderen in Bezug auf diese gerade Linie.

Zunehmende oder abnehmende Funktionen sind invers

Ist der Graph der Funktion f immer größer oder immer kleiner über den Bereich von fdann kann dieser Graph höchstens einmal durch eine horizontale Linie und damit die Funktion geschnitten werden f muss eine Inverse haben.

Eine Möglichkeit, festzustellen, ob der Graph einer Funktion in einem Bereich zunimmt oder abnimmt, besteht darin, die Neigungen der Tangentenlinien zu untersuchen. Das Diagramm von f sollte in jedem Intervall erhöht werden, in dem f '(x)> 0 (da Tangentenlinien eine positive Steigung haben) und in jedem Intervall abnehmen sollten, in dem f '(x) <0 (da Tangenten eine negative Neigung haben). Diese Beobachtungen legen den folgenden Satz nahe.

Wenn die Domain von f ist ein Bereich, in dem f ' (x)>0 oder in welchen f '(x)<0dann die funktion f da ist ein invers.

Beispiel

Das Diagramm von f(x) = wächst immer in seit

für alle x. Es gibt jedoch keine einfache Möglichkeit, die Gleichung zu lösen. y = zu x in Bezug auf y; selbst das zu wissen f Es gibt eine Umkehrung, wir können keine Formel dafür erstellen.

HINWEIS Es ist wichtig zu verstehen, dass unsere Unfähigkeit, eine Formel für das Inverse zu finden, seine Existenz nicht negiert; In der Tat ist es notwendig, Wege zu entwickeln, um Eigenschaften von Funktionen zu finden, für die es keine explizite Formel gibt.

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Video: Ableitung Umkehrfunktion, Herleitung rechnerisch, Umkehrregel, Inversenregel. Mathe by Daniel Jung (Kann 2021).