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Logarithmische Differenzierung


Betrachten wir nun eine Technik namens logarithmische DifferenzierungDies ist nützlich, um zusammengesetzte Funktionen von Produkten, Quotienten und Potenzen zu unterscheiden.

Beispiel

Die Ableitung von

Es ist relativ schwierig, direkt zu berechnen. Wenn wir jedoch zuerst den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten nehmen und dann seine Eigenschaften verwenden, können wir schreiben:

Unterscheidung beider Seiten von x, Ergebnisse

Also löse nach dy / dx und mit wir bekommen

HINWEISEinmal 1n y ist nur auf gesetzt y> 0, die logarithmische Differenzierung von y = f(x) ist nur in Intervallen gültig, in denen f(x) ist positiv. Somit ist die im Beispiel gezeigte Ableitung im Bereich (2, +) gültig ), da die gegebene Funktion positiv ist für x> 2. Die Formel ist jedoch auch im Bereich (- , 2). Dies lässt sich erkennen, indem man Absolutwerte nimmt, bevor man mit der logarithmischen Differenzierung fortfährt und dies feststellt ist auf alle eingestellt y außer in y = 0. Wenn wir dies tun und unter Verwendung des Logarithmus und der Absolutwerteigenschaften vereinfachen, erhalten wir

Unterscheidung beider Seiten von x im Allgemeinen, wenn die Ableitung von y = f(x) ergibt sich durch logarithmische Differenzierung die gleiche Formel für dy / dx führen dazu, dass zuerst absolute Werte genommen werden oder nicht. Somit ist eine durch logarithmische Differenzierung erhaltene Ableitungsformel gültig, außer an den Punkten, an denen f(x) ist Null. Die Formel kann auch an diesen Punkten gültig sein, es wird jedoch keine Garantie übernommen.

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