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Differentialgleichungen


Wenn y ist eine Funktion von x, und nein ist eine positive ganze Zahl, also eine Gleichheitsbeziehung (nicht auf eine Identität reduzierbar), an der x, y, y ', y ", ..., y beteiligt ist(n) es heißt a Differentialgleichung der Ordnung n.

Differentialgleichung ist eine Gleichung, die Ableitungen oder Differentiale einer unbekannten Funktion (der Unbekannten der Gleichung) darstellt.

Klassifizierung

  • Ordentliche Differentialgleichung (ODE): Bezieht Ableitungen einer einzelnen unabhängigen Variablenfunktion ein.
  • Partielle Differentialgleichung (EDP): Umfasst partielle Ableitungen einer Funktion von mehr als einer unabhängigen Variablen.

Auftrag: ist die Ordnung der Ableitung höchster Ordnung der unbekannten Funktion, die in der Gleichung erscheint.

Beispiele

y '= 2x

habe Auftrag 1 und Note 1
y "+ x2(y ')3 - 40y = 0 haben Auftrag 2 und Grad 3

y "'+ x2y3 = x.tanx

habe Auftrag 3 und Grad 3

Auflösung

Die Lösung einer Differentialgleichung ist eine Funktion, die weder Ableitungen noch Differentiale enthält und die gegebene Gleichung erfüllt (dh die Funktion, die in der gegebenen Gleichung eingesetzt wird, um sie in eine Identität umzuwandeln).

Bsp .: Gewöhnliche Differentialgleichung: = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (allgemeine Lösung)

Eins bestimmte Lösung kann aus dem Allgemeinen beispielsweise durch die Bedingung y (-1) = 3 erhalten werden

(Anfangszustand)

3 = -1-2-1 + C C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (private Lösung)

Hinweis: In beiden Fällen kann der Beweis durch Ableiten der Lösung und dadurch Zurückkehren zur angegebenen Gleichung erbracht werden.

Die Lösungen fallen in:

Allgemeine Lösung - präsentiert n voneinander unabhängige Konstanten (n = ODE-Reihenfolge). Diese Konstanten können gegebenenfalls C, 2C, C geschrieben werden2lnC

Besondere Lösung - Erhalten vom Allgemeinen unter gegebenen Bedingungen (genannt Anfangsbedingungen oder Randbedingungen).

Weiter: Homogene lineare Gleichungen 2. Ordnung