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Mathematik und Musik: Auf der Suche nach Harmonie (Teil 2)


Jede vibrierende Luftbewegung am Ohreingang entspricht einem Musikton, der immer und eindeutig als Summe einer unendlichen Anzahl einfacher Vibrationsbewegungen dargestellt werden kann, die den Teiltönen dieses Musiktons entsprechen. Die ersten Komponenten in der Harmonic-Reihe entsprechen den Frequenzen, die mit den Begriffen der ersten Fourier-Reihe assoziiert sind, wodurch Verhältnisse von kleinen ganzen Zahlen in Bezug auf Pythagoras-Konsonanzen bestimmt werden. Sowohl eine Saite als auch Luftsäulen in Blasinstrumenten haben die Eigenschaft, nicht nur als eine zu vibrieren Ganz, aber immer noch gleichzeitig als zwei Hälften, drei Drittel, vier Viertel und so weiter.

Aus mathematischer Sicht wird beobachtet, dass die Stärke jeder Harmonischen zur Konstruktion der Form der periodischen Schwingung beiträgt, die sich auf die Klangfarbe bezieht.

In Musikinstrumenten werden Harmonische auf vielfältige Weise ausgenutzt und verwendet. Blasinstrumente erzielen Harmonische eines bestimmten Klangs, indem sie intensiver geblasen werden, während Streicher eine einzelne Saite in entsprechenden Abschnitten zum Schwingen bringen können. bei bestimmten Harmonischen durch leichtes Antippen an Maximalpunkten, die niedrigere Harmonische hemmen.

In fast allen Völkern der Antike gibt es Manifestationen dieser beiden Bereiche in getrennten. Die erobernde Kraft der Musik drückt sich bereits in der griechischen Mythologie bei Orpheus aus, dessen Lied von Leier begleitet die Flüsse, gezähmten Tiere und bewegten Steine ​​stützte. Auch die Mathematik ist seit der Antike präsent, beispielsweise beim Zählen von Dingen. Die Wechselwirkung zwischen diesen Bereichen zeigt sich in der Notwendigkeit, Konsonanzprobleme gleichzusetzen und zu lösen, im Sinne der Suche nach wissenschaftlichen Grundlagen, die ein solches Konzept rechtfertigen können.

Die Organisation musikalischer Tonleitern ist in verschiedenen Völkern und Zeiten auf unterschiedliche Art und Weise aufgetreten, wobei einige Aspekte gemeinsam sind. Die Griechen entwickelten die Tetracords und skalierten dann mit sieben Tönen.

Musiktheoretiker wie Pythagoras, Arquitas, Aristoxenus und Erastosthenes widmeten sich der Konstruktion von Skalen, indem sie verschiedene Affinitätskriterien entwickelten. Zum Beispiel, indem Pythagoras die perfekten fünften Intervalle bewertet und nur Zahlen von 1 bis 4 verwendet, um Brüche der Saite zum Erzeugen der Skalennoten zu erhalten, richtet er eine Tonhöhe unter Verwendung fünfter Pfade ein, um die Skalennoten zu erhalten.

Arquitas baut seine Tonleiter auf Bruchteilen der Saite auf, die sich aus harmonischen und arithmetischen Durchschnittswerten derjenigen ergeben, die Pythagoras im Monochord-Experiment gefunden hat. Erastosthenes erarbeitete die Unterscheidung zwischen arithmetisch berechneten Intervallen in der Art von Aristoxen von Intervallen, die durch die Vernunft berechnet wurden.

2.1. Das Monochord-Experiment und Musik an der Pythagorean School

Die ersten Anzeichen für eine Ehe zwischen Mathematik und Musik gab es im 6. Jahrhundert v. Chr., Als Pythagoras durch Experimente mit monochromatischen Klängen eine seiner schönsten Entdeckungen machte, die den vierten Zweig der Mathematik zu dieser Zeit hervorbrachte: die Musik. .

Die wichtigsten Musiktheoretiker der pythagoreischen Schule waren Pythagoras und Philolaus in der vorklassischen Periode sowie Architas, Aristoxen und Aristoteles in der klassischen Periode.

Möglicherweise von Pythagoras erfunden, ist das Monochord ein Instrument, das aus einer einzelnen Saite besteht, die sich zwischen zwei Staffeleien erstreckt, die auf einem Brett oder Tisch befestigt sind, und eine bewegliche Staffelei hat, die sich unter der verlängerten Saite befindet und die musikalische Tonhöhe des beim Spielen abgegebenen Klangs. Pythagoras suchte Längenverhältnisse - Verhältnisse von ganzen Zahlen -, die bestimmte Tonintervalle erzeugten. Er setzte seine Experimente fort, indem er die Beziehung zwischen der Länge einer vibrierenden Saite und dem von ihr erzeugten Musikton untersuchte. Dieses pythagoreische Experiment ist das erste Experiment in der Geschichte der Wissenschaft, das ein Gerät zur künstlichen Beobachtung von Phänomenen isoliert.

Pythagoras bemerkte, dass er einen Punkt auf at der Länge des Seils relativ zu seinem Ende nach unten drückte - was einer Reduzierung auf ¾ seine ursprüngliche Größe entspricht - und ihn dann ein Viertel über der Tonhöhe der Saite antippte. ganze Zeichenfolge. Gedrückt bei 2/3 der Originalgröße der Saite, war sie um ein Fünftel höher und ½ war die Oktave des Originaltons.

Aus dieser Erfahrung werden die Intervalle als pythagoreische Konsonanzen bezeichnet. Wenn also die ursprüngliche Länge der Saite 12 ist und wir sie auf 9 reduzieren, hören wir die vierte bis 8, die fünfte bis 6, die achte.

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