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Entstehung linearer und determinanter Systeme


In der alten westlichen Mathematik gibt es nur wenige Erscheinungsformen von linearen Gleichungssystemen. Im Osten verdiente das Thema jedoch viel größere Aufmerksamkeit. Mit ihrer besonderen Vorliebe für Diagramme stellten die Chinesen lineare Systeme durch ihre Koeffizienten dar, die mit Bambusstäben auf die Quadrate einer Tafel geschrieben waren. So entdeckten sie schließlich die Eliminierungsauflösungsmethode, bei der Koeffizienten durch Elementaroperationen aufgehoben werden. Beispiele für dieses Verfahren finden sich in den neun Kapiteln zur Mathematik, einem Text, der wahrscheinlich aus dem 111. Jahrhundert vor Christus stammt.

Aber erst 1683 kam in einer Arbeit des Japaners Seki Kowa die Idee der Determinante (als Polynom, das mit einem Quadrat von Zahlen verbunden ist) ans Licht. Kowa, der als der größte japanische Mathematiker des 17. Jahrhunderts gilt, kam zu diesem Begriff durch das Studium linearer Systeme und die Systematisierung des alten chinesischen Verfahrens (nur für zwei Gleichungen).

Die Verwendung von Determinanten im Westen begann zehn Jahre später in einer Arbeit von Leibniz, die sich ebenfalls auf lineare Systeme bezog. Kurz gesagt, Leibniz stellte die Kompatibilitätsbedingung eines Systems aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten in Bezug auf die Determinante der Ordnung 3, die durch die Koeffizienten und die unabhängigen Terme gebildet wird, auf (diese Determinante muss null sein). Zu diesem Zweck erstellte er sogar eine Notation mit Indizes für die Koeffizienten: Was wir heute zum Beispiel als schreiben würden12Leibniz mit 1 bezeichnet2.

Cramers bekannte Regel zur Lösung von Systemen unbekannter, unbekannter Gleichungen durch Determinanten ist in der Tat eine Entdeckung des schottischen Colin Maclaurin (1698-1746), die wahrscheinlich aus dem Jahr 1729 stammt, jedoch erst 1748 posthum in seiner Abhandlung zur Algebra veröffentlicht wurde. . Der Name des Schweizers Gabriel Cramer (1704-1752) taucht in dieser Folge jedoch nicht ganz kostenlos auf. Cramer kam ebenfalls zur Regel (unabhängig), aber später in seiner Einführung in die Flachkurvenanalyse (1750) im Zusammenhang mit dem Problem der Bestimmung der Koeffizienten des allgemeinen Kegels A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.

Der Franzose Étienne Bézout (1730-1783), Autor mathematischer Erfolgstexte seiner Zeit, systematisierte 1764 den Prozess der Bestimmung der Zeichen der Bedingungen einer Determinante. Und es war an einem anderen Franzosen, Alexandre Vandermonde (1735-1796), 1771, den ersten Ansatz zur Determinantentheorie unabhängig von der Untersuchung linearer Systeme zu unternehmen - obwohl er sie auch zur Lösung dieser Systeme verwendete. Der wichtige Satz von Laplace, der die Erweiterung einer Determinante durch die kürzeste von ausgewählten Zeilen und ihre jeweiligen algebraischen Ergänzungen ermöglicht, wurde im folgenden Jahr von Laplace selbst in einem Artikel demonstriert, der nach seinem Titel nichts mit dem Thema zu tun hatte. : "Forschung über Integralrechnung und das Weltsystem".

Der bestimmende Begriff in seiner jetzigen Bedeutung tauchte 1812 in Cauchys Arbeiten zu diesem Thema auf. In diesem Beitrag, der der Akademie der Wissenschaften vorgelegt wurde, fasste Cauchy das, was bisher über Determinanten bekannt war, zusammen und vereinfachte es. Er verbesserte die Notation (die derzeitige mit zwei vertikalen Balken, die das Quadrat der Zahlen flankieren, würde erst 1841 mit Arthur Cayley auftauchen) und gab eine Demonstration. des Determinantenmultiplikationssatzes - Monate zuvor hatte JFM Binet (1786-1856) den ersten Beweis für diesen Satz erbracht, aber Cauchy's war überlegen.

Neben Cauehy war Carl G. J. Jacobi (1804-1851), manchmal als "der große Algorithmus" bekannt, der deutsche Mitwirkende an der Determinantentheorie. Ihm ist es zu verdanken, wie einfach diese Theorie heute elementar dargestellt wird. Als Algorithmus war Jacobi mit seinen Möglichkeiten ein Enthusiast der Determinanten-Notation. Das wichtige jakobinische Konzept einer Funktion, das einen der charakteristischsten Punkte seiner Arbeit hervorhebt, ist somit eine Hommage an das Schönste.

HYGINO H. SONNTAGE* Eingereicht vom Benutzer Jaime Batista

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